Carl-von-Ossietzky-Universität Oldenburg Studiengang Diplom-Mathematik Diplomarbeit

Zyklotomische Funktionenkörper

vorgelegt von Roland Auer am 19. März 1993. Erstprüfer: Prof. Dr. H.-G. Quebbemann Zweitprüferin: Prof. Dr. I. Pieper-Seier

Korrigierte und leicht berarbeitete Fassung vom 12. Juli 2000.

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2 Notation 3

I Bewertete Körper 4

1 Dedekindringe und Bewertungen 4 2 Galoiserweiterungen 11 3 Komplettierung 15

II Algebraische Funktionenkörper 24

4 Divisoren und Differentiale 24 5 Die Geschlechtsformel von Riemann-Hurwitz 35 6 Der Satz von Weil 41

III Zyklotomische Funktionenkörper 50

7 Carlitz-Moduln 50 8 Die Galoisgruppe 54 9 Die Bewertungen 57 10 Das Geschlecht 63 11 Klassenzahlen 68 Literatur 76

Einleitung

Zyklotomische Funktionenkörper sind algebraische Funktionenkörper über 𝔽_{q} (dem endlichen Körper mit q Elementen), die in eigenartiger Analogie zu den klassischen Kreisteilungskörpern gebildet werden. Dabei übernimmt der rationale Funktionenkörper 𝔽_{q}(x) die Rolle des Körpers ℚ der rationalen Zahlen, während die Polynome über 𝔽_{q}, die ‘ganzen Funktionen’ in 𝔽_{q}(x), an die Stelle der ganzen Zahlen treten. Hat man klassisch zu jeder (positiven) ganzen Zahl m ≠ 0 einen m-ten Kreisteilungskörper, so assoziiert man nun zu jedem (normierten) Polynom M ≠ 0 einen M-ten zyklotomischen Funktionenkörper. Die Grundlage hierfür legte schon 1939 Leonard Carlitz mit seiner Untersuchung einer ‘Klasse von Polynomen’, die er mit W_{M}(u) bezeichnete, und die die Analoga zu den klassischen Kreisteilungspolynomen darstellen. Bei ihm findet sich bereits die Rekursionsformel (in dieser Arbeit 8.6(c)), die er als definierende Gleichung für die W_{M}(u) einführt, und das Zerlegungsgesetz 9.1, das er ganz elementar beweist. Im Jahre 1974 greift Hayes die Idee von Carlitz auf und bestimmt in den Paragraphen 3 und 4 seines Artikels [Ha] die unendlichen Primdivisoren sowie das Geschlecht des M-ten zyklotomischen Funktionenkörpers, beides allerdings nur für den Fall, daß M die Potenz eines irreduziblen Polynoms ist. Ein Ziel dieser Diplomarbeit ist es, Hayes’ Untersuchungen auf beliebige Polynome M auszudehnen (Sätze 9.1, 9.3(a)–(b), 9.4 und 10.2(a)) und dabei parallel für einen Teilkörper, der klassisch dem maximalen reellen Teilkörper entspricht, durchzuführen (Sätze 9.3(c)–(d), 9.4(a), 10.2(b)–(c) und 10.4). In der Folge hiervon ist es uns möglich, im letzten Abschnitt eine Aussage über den Klassenzahlfaktor h^{−}, die Quebbemann [Qb] ebenfalls nur für Potenzen irreduzibler Polynome formuliert hat, für beliebiges M zu zeigen (Satz 11.4). Dies sind die wesentlichen Inhalte des dritten Teils. Die ersten beiden Teile, d. h. die Abschnitte 1–6, sind als Vorbereitung hierzu zu sehen. In ihnen werden bekannte Tatsachen aus der Bewertungstheorie und der Theorie der algebraischen Funktionenkörper aufbereitet und zusammengestellt. Der/die mit diesen Themen vertraute LeserIn kann daher sofort bei Teil III beginnen. Wir wollen auch über die ersten beiden Teile einen kurzen Überblick geben. Detailliertere Einleitungen finden sich zu Beginn der einzelnen Abschnitte. In Teil I befassen wir uns mit (diskreten) Bewertungen beliebiger Körper und ihrem Zusammenhang mit Dedekindringen (Abschnitt 1). Wir studieren das Wechselspiel zwischen Galoisgruppe und Bewertungen in einer endlichen Galoiserweiterung (Abschnitt 2) sowie besondere Eigenschaften vollständiger bewerteter Körper (Abschnitt 3). Abschnitt 4 macht uns mit algebraischen Funktionenkörpern und Begriffen wie Divisor, Differential, Adle und Geschlecht vertraut. Abschnitt 5 beschäftigt sich mit dem Geschlecht in einer separablen Erweiterung von algebraischen Funktionenkörpern. Mit Abschnitt 6, der die Theorie algebraischer Funktionenkörper über endlichem Konstantenkörper entwickelt, nähern wir uns dann den in Teil III untersuchten zyklotomischen Funktionenkörpern. Vorausgesetzt werden in dieser Arbeit algebraische Kenntnisse bis einschließlich Galoistheorie, wie sie zumeist im Grundstudium vermittelt werden.

An dieser Stelle möchte ich mich bei Herrn Prof. Quebbemann für die Vergabe des Themas, das meinen persönlichen Vorlieben sehr entgegenkam, sowie für die hervorragende und unermüdliche Betreuung recht herzlich bedanken. Durch seine wertvollen Gedankenanstöße und ständig neuen Fragestellungen hat er meine Arbeit wesentlich vorangetrieben.

Notation

Ringe sind in dieser Arbeit stets kommutativ mit 1. Es bezeichnen a, b Elemente und I, J Ideale eines Rings R. Wir verwenden die folgenden Schreibweisen. R^{∗} Einheitengruppe von R. Ra, aR, (a) von a erzeugtes Ideal in R. a|b a teilt b in R. IJ Produktideal aus I und J. I|J I teilt J, d. h. es gibt ein Ideal I′ von R mit II′ = J. SI, IS von I erzeugtes Ideal im Oberring S von R. Max(R) Menge der maximalen Ideale von R. R^{m×n} R-Algebra der m × n-Matrizen über R. ann_{R}(M) Annihilatorideal des R-Moduls M ann_{R}(x) bzw. des Elements x ∈ M. Aut(L/K) Automorphismengruppe der Körpererweiterug L/K. Fix(L, G) Fixkörper der Untergruppe G < Aut(L) im Körper L. char(K) Charakteristik des Körpers K. K_{1}K_{2} Kompositum der Körper K_{1} und K_{2} in einem gemeinsamen Oberkörper L,

d. h. der kleinste Unterkörper von L der sowohl K_{1} als auch K_{2} enthlt.

Hom_{K}(V, W) Algebra der K-Vektorraumhomomorphismen von V nach W. End_{K}(V) = Hom_{K}(V, V). #A Anzahl der Elemente der Menge A. B \ A Differenzmenge der Mengen B und A (B ohne A). B^{A} Menge aller Abbildungen aus der Menge A in die Menge B. f|_{A} Restriktion der Abbildung f auf die Menge A. δ_{ij} Kronecker-Symbol.

Teil I

Bewertete Körper

1 Dedekindringe und Bewertungen

Dieser Abschnitt soll die wesentlichen Grundbegriffe der Bewertungstheorie — Ganzheit, Diskriminante, Dedekindringe, Fortsetzung von Bewertungen — in der für diese Arbeit benötigten Form bereitstellen. Die gesamte Theorie, wie sie z. B. bei [Jc] dargestellt ist, ist um einiges allgemeiner angelegt und würde mit ihrer ganzen Herleitung zu viel Raum einnehmen. Wir beschränken uns daher auf die wesentlichen Aussagen und beziehen uns, wo es möglich ist, auf die entsprechende Literatur.

Die Aussagen 1.1 bis 1.4 sowie 1.5(c) und (d) finden sich bei [Nk, pp. 6–13] wieder. Für den Beweis zu 1.5(a) und (b) verweisen wir auf [L2, p. 65].

a. Ganzheit. Das Konzept algebraischer Größen über einem Körper läßt sich auf Ringe wie folgt übertragen.

1.1 Definition und Satz. Sei C/A eine Ringerweiterung. Ein Element β ∈ C heißt ganz über A, falls β Nullstelle eines normierten Polynoms f ∈ A[X] ist. Die Menge B := {β ∈ C : β ist ganz über A} heißt der ganze Abschluß von A in C. Falls A = B ist, heißt A ganz abgeschlossen in C. B ist ein Ring und ganz abgeschlossen in C. Ein Integritätsring heißt ganz abgeschlossen, wenn er ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist.

Beispiel. Jeder faktorielle Ring ist ganz abgeschlossen.

1.2 Satz. Sei A ein ganz abgeschlossener Integritätsring mit Quotientenkörper K, L/K eine endliche Körpererweiterung und B der ganze Abschluß von A in L.

(a) Jedes α ∈ L läßt sich in der Form α = \frac{β}{a} mit β ∈ B und a ∈ A schreiben. Insbesondere ist L Quotientenkörper von B und B ganz abgeschlossen.

(b) Für β ∈ B ist das Minimalpolynom von β über K in A[X].

(c) Für σ ∈ Aut(L/K) ist σ(B) = B.

b. Diskriminante. Wesentliche Bedingung für die meisten Definitionen und Aussagen ist die Separabilität der betrachteten Körpererweiterung. So auch bei den im folgenden eingeführten Begriffen.

1.3 Definition und Satz. Sei L/K eine separable Körpererweiterung vom Grad n. Die K-Homomorphismen von L in einen gegebenen algebraischen Abschluß seien mit σ_{1}, …, σ_{n} bezeichnet. Sei weiter (β_{1}, …, β_{n}) eine K-Basis von L, α ∈ L beliebig und β ein primitives Element von L über K. Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein:

(a) S_{L/K}(α) := ∑_{i=1}^{n} σ_{i}(α) ∈ K heißt Spur von α in L/K.

(b) N_{L/K}(α) := ∏_{i=1}^{n} σ_{i}(α) ∈ K heißt Norm von α in L/K.

(c) D_{L/K}(β_{1}, …, β_{n}) := det^{2}(σ_{i}(β_{j}))_{1≤i,j≤n} = det(S_{L/K}(β_{i}β_{j}))_{1≤i,j≤n} ∈ K^{∗} heißt Diskriminante von (β_{1}, …, β_{n}) in L/K.

(d) D_{L/K}(β) := D_{L/K}(1, β, …, β^{n−1}) heißt Diskriminante von β in L/K.

1.4 Rechenregeln. Sei L/K eine separable Körpererweiterung vom Grad n, F ein Zwischenkörper, α, β ∈ L und a ∈ K. Desweiteren sei A ein Unterring von K, ganz abgeschlossen in K.

(a) S_{L/K}(a) = na und N_{L/K}(a) = a^{n}.

(b) S_{L/K}(β) = S_{F/K}(S_{L/F} (β)) und N_{L/K}(β) = N_{F/K}(N_{L/F} (β)).

(c) Die Spur ist K-linear, d. h. S_{L/K}(α + β) = S_{L/K}(α) + S_{L/K}(β) und S_{L/K}(aβ) = aS_{L/K}(β).

(d) Die Norm ist multiplikativ, d. h. N_{L/K}(αβ) = N_{L/K}(α)N_{L/K}(β).

(e) Ist β ganz über A, so ist S_{L/K}(β), N_{L/K}(β) ∈ A.

1.5 Satz. Sei A ein ganz abgeschlossener Integritätsring mit Quotientenkörper K, L/K eine separable Körpererweiterung vom Grad n und B der ganze Abschluß von A in L. Seien weiter (β_{1}, …, β_{n}) und (β′_{1}, …, β′_{n}) zwei K-Basen von L mit M := Aβ_{1}⊕⋯⊕Aβ_{n} ⊆ M′ := Aβ′_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Aβ′_{n}.

(a) D_{L/K}(β_{1}, …, β_{n}) = aD_{L/K}(β′_{1}, …, β′_{n}) für ein a ∈ A.

(b) M = M′ genau dann, wenn D_{L/K}(β_{1}, …, β_{n}) = εD_{L/K}(β′_{1}, …, β′_{n}) für ein ε ∈ A^{∗}.

(c) Sind β_{1}, …, β_{n} ∈ B, so ist d := D_{L/K}(β_{1}, …, β_{n}) ∈ A und M ⊆ B ⊆ \frac{1}{d}M.

(d) Ist A ein Hauptidealring, dann gibt es eine K-Basis (γ_{1}, …, γ_{n}) von L mit B = Aγ_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Aγ_{n}.

c. Dedekindringe. Dedekindringe werden in [Nk, pp. 19–24, 47–52] behandelt. Dort sind die Sätze 1.7 bis 1.10 bewiesen.

1.6 Definition. Ein Integritätsring A heißt Dedekindring, wenn gilt:

(a) A ist noethersch,

(b) A ist ganz abgeschlossen und

(c) jedes Primideal ≠ 0 von A ist ein maximales Ideal.

Beispiel. Jeder Hauptidealring ist ein Dedekindring.

1.7 Satz. Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, L/K endlich und separabel. Dann ist der ganze Abschluß von A in L ein Dedekindring.

Die wichtigen Eigenschaften eines Dedekindrings beziehen sich auf seine Ideale.

1.8 Satz. Sei A ein Dedekindring.

(a) Jedes Ideal I ≠ 0 von A hat eine eindeutige Darstellung

I = ∏_{P ∈Max(A)} P^{e_{P}}

mit e_{P} ∈ ℕ_{0}, e_{P} = 0 für fast alle P ∈ Max(A).

(b) Die Ideale von A lassen sich invertieren, d. h. zu jedem Ideal I von A existiert ein Ideal I′ ≠ 0, so daß II′ ein Hauptideal ist.

(c) Sind I, J ⊆ A Ideale von A, so gilt (‘Enthalten heißt Teilen’)

I ⊇ J ⟺ I|J.

1.9 Definition. Für Ideale I_{1}, I_{2} ≠ 0 eines Integritätsrings A erklären wir die Äquivalenzrelation

I_{1} ∼ I_{2} :⟺ ∃α_{1}, α_{2} ∈ A \ {0} : α_{1}I_{1} = α_{2}I_{2}

und bezeichnen die Äquivalenzklasse eines Ideals I ≠ 0 mit [I]. Wegen der Nullteilerfreiheit von A ist die Multiplikation von Äquivalenzklassen durch [I][J] := [IJ] wohldefiniert und macht die Menge {[I] : I ≠ 0 Ideal von A} zu einem Monoid (mit der Klasse [A] der Hauptideale als Einselement).

Aus 1.8(b) ergibt sich als unmittelbare Folgerung:

1.10 Satz und Definition. Sei A ein Dedekindring.

(a) Cℓ(A) := {[I] : I ≠ 0 Ideal von A} ist eine Gruppe, die (Ideal)klassengruppe von A.

(b) Ihre Ordnung h(A) := #Cℓ(A) heißt die (Ideal)klassenzahl von A.

d. Bewertungen.

1.11 Definition. Unter einer diskreten Bewertung eines Körpers K verstehen wir eine surjektive Abbildung v : K → ℤ ∪ {∞} mit den Eigenschaften

(a) v(a) = ∞ ⟺ a = 0,

(b) v(ab) = v(a) + v(b), (d. h. v|_{K^{∗}} ist ein Gruppenhomomorphismus) und

(c) v(a + b) ≥ min{v(a), v(b)},

wobei a, b ∈ K. Dabei gelten für ∞ die üblichen Rechenregeln.

Wie wir in 1.16 sehen werden, erhält man jede diskrete Bewertung in der Form des folgenden Beispiels, wenn man den Ring A geeignet wählt.

1.12 Beispiele.

(a) Sei A ein faktorieller Ring mit Quotientenkörper K und p ∈ A ein Primelement. Jedes a ∈ K^{∗} hat eine Darstellung a = p^{l} \frac{r}{s} mit r, s ∈ A, p |/ rs und eindeutig bestimmtem l ∈ ℤ. Durch v_{p}(a) := l (und v_{p}(0) := ∞) wird eine diskrete Bewertung von K definiert. Man nennt v_{p} die p-adische Bewertung von K.

(b) Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K und P ∈ Max(A). Jedes a ∈ K^{∗} hat eine Darstellung a = \frac{r}{s} mit r, s ∈ A. Gemäß 1.8(a) schreiben wir rA = P^{d}I und sA = P^{e}J mit Idealen I, J von A, P |/ IJ und d, e ∈ ℕ_{0}. Die Definition v_{P} (a) := d − e ist von der Wahl von r und s unabhängig und liefert eine diskrete Bewertung von K. Man nennt v_{P} die P -adische Bewertung von K.

(c) Ein faktorieller Dedekindring ist ein Hauptidealring. Hier fallen die Bezeichnungen zusammen, d. h. für (p) = P ist v_{p} = v_{P}.

Beweis. (a) Die bei [Nk, p. 111f] für ℤ durchgeführten Überlegungen lassen sich wie bei [FJ, p. 14] auf einen beliebigen faktoriellen Ring übertragen.

(b) Vgl. [Nk, pp. 71-73].

(c) Aufgrund einfacher Überlegungen mithilfe von 1.8 und den Eigenschaften faktorieller Ringe.

□

Zu 1.13–1.19 vgl. [FJ, pp. 12–14] und [Nk, pp. 70f, 122–127].

1.13 Rechenregeln. Sei v eine diskrete Bewertung des Körpers K und a, b ∈ K.

(a) v(1) = 0.

(b) v(a) = v(−a).

(c) Ist v(a) ≠ v(b), so ist v(a + b) = min{v(a), v(b)}.

1.14 Definition und Satz. Ein Ring R ≠ 0 mit nur einem maximalen Ideal heißt lokal. Das maximale Ideal eines lokalen Rings R ist P = R \ R^{∗}.

1.15 Definition. Ein echter Unterring R eines Körper K heißt ein diskreter Bewertungsring (von K), falls R ein lokaler Hauptidealring mit K als Quotientenkörper ist.

1.16 Satz. Sei K ein Körper. Für eine diskrete Bewertung v von K ist R_{v} := {a ∈ K : v(a) ≥ 0} ein diskreter Bewertungsring von K und P_{v} := {a ∈ K : v(a) > 0} sein maximales Ideal. Man hat eine Bijektion

{diskrete Bewertungen von K} ↔ {diskrete Bewertungsringe von K}
v ↦ R_{v},

wobei v = v_{P_{v}} die P_{v}-adische Bewertung aus 1.12(b) ist.

Da wir es in dieser Arbeit ausschließlich mit diskreten Bewertungen zu tun haben, wollen wir der Kürze wegen von nun an einfach von Bewertungen und Bewertungsringen sprechen, auch wenn diese Begriffe üblicherweise allgemeiner gefaßt sind.

1.17 Definition. Sei v eine Bewertung des Körpers K. Der Ring R_{v} aus 1.16 heißt der Bewertungsring und der Körper k_{v} := R_{v}/P_{v} der Restklassenkörper zu v.

1.18 Lemma. Sei A ein Dedekindring, P ∈ Max(A) und v := v_{P} die P -adische Bewertung auf dem Quotientenkörper von A. Dann ist P = P_{v} ∩ A und die kanonische Einbettung

A/P ↪ k_{v}
a + P ↦ a + P_{v}

ein Körperisomorphismus.

Der folgende Satz ist in gewissem Sinne eine Verallgemeinerung des chinesischen Restsatzes und findet seine Anwendung auch in ähnlichen Situationen.

1.19 Approximationssatz. Seien v_{1}, …, v_{n} paarweise verschiedene Bewertungen des Körpers K, α_{1}, …, α_{n} ∈ K und m_{1}, …, m_{n} ∈ ℤ. Dann gibt es ein α ∈ K mit

v_{i}(α − α_{i}) ≥ m_{i} ∀i = 1, …, n.

Mithilfe von 1.13(c) lassen sich sogar Gleichheitszeichen erreichen. e. Fortsetzungen.

1.20 Definition. Sei L/K eine Körpererweiterung und v eine Bewertung von K. Eine Bewertung w von L heißt eine Fortsetzung von v nach L (in Zeichen w/v), wenn ein e ∈ ℕ existiert mit w|_{K} = ev. Die Zahl e_{w/v} := e heißt der Verzweigungsindex von w über v. Die kanonische Injektion k_{v} ↪ k_{w}, a + P_{v} ↦ a + P_{w} fassen wir als Inklusion auf. Dabei heißt f_{w/v} := [k_{w} : k_{v}] der (relative) Restklassengrad von w über v.

Die wesentlichen Resultate über Fortsetzung von Bewertungen lassen sich [Ws, pp. 21-27, 54, 67] entnehmen. Es sei versichert, daß auf die dort verwendeten Methoden der Komplettierung, die wir erst in Abschnitt 3 einführen werden, verzichtet werden kann. Eine Anleitung für einen elementaren Beweis des folgenden zusammenfassenden Satzes gibt uns [FJ, pp. 14f, 25].

1.21 Satz. Sei L/K eine endliche Körpererweiterung vom Grad n.

(a) Jede Bewertung von L setzt genau eine Bewertung von K fort.

(b) Jede Bewertung von K hat mindestens eine und nur endlich viele Fortsetzungen nach L.

(c) Sind w_{1}, …, w_{r} sämtliche Fortsetzungen einer Bewertung v von K nach L, so gilt die fundamentale Ungleichung

∑_{i=1}^{r} e_{w_{i}/v}f_{w_{i}/v} ≤ n.

1.22 Definition. Sei L/K endlich vom Grad n und v eine Bewertung von K mit Fortsetzung w nach L. w/v heißt

• unverzweigt, falls e_{w/v} = 1 ist.

• zahm verzweigt, falls k_{w}/k_{v} separabel ist und char(k_{v}) nicht e_{w/v} teilt.

• total verzweigt, falls e_{w/v} = n ist.

• träge, falls f_{w/v} = n ist.

v heißt unverzweigt bzw. zahm verzweigt bzw. total verzweigt bzw. träge in L/K, falls alle Fortsetzungen von v nach L unverzweigt bzw. zahm verzweigt bzw. total verzweigt bzw. träge über v sind. v heißt total zerlegt in L/K, falls v genau n Fortsetzungen nach L hat.

Die im folgenden Satz beschriebene Korrespondenz zwischen den Fortsetzungen einer P - adischen Bewertung und der Zerlegung von P im Erweiterungskörper ist bei [Jc, pp. 614–618] besprochen.

1.23 Satz. Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, L/K eine endliche, separable Erweiterung vom Grad n, B der ganze Abschluß von A in L (ein Dedekindring nach 1.7) und P ∈ Max(A). Wir schreiben

P B = ∏_{i=1}^{r} Q_{i}^{e_{i}}

mit r, e_{i} ∈ ℕ und paarweise verschiedenen Q_{i} ∈ Max(B) gemäß 1.8(a). Der Körper \overline{A} := A/P ist auf natürliche Weise in den Körpern \overline{B}_{i} := B/Q_{i} enthalten. Wir setzen f_{i} := [\overline{B}_{i} : \overline{A}].

(a) Die Bewertung v := v_{P} hat genau die r Fortsetzungen w_{i} := v_{Q_{i}} nach L mit e_{w_{i}/v} = e_{i} und f_{w_{i}/v} = f_{i} für i = 1, …, r.

(b) Es gilt die fundamentale Gleichung

∑_{i=1}^{r} e_{i}f_{i} = n.

(c) Ist speziell A = R_{v}, so ist Max(B) = {Q_{1}, …, Q_{r}} und B = ⋂_{i=1}^{r} R_{w_{i}}.

Der folgende Satz, den wir bei [L2, pp. 27–29] wiederfinden, gibt uns ein Verfahren an die Hand, um das Fortsetzungsverhalten von Primidealen (sprich Bewertungen) in vielen konkreten Situationen explizit zu bestimmen.

1.24 Satz (Explizite Faktorisierung). In der Situation von 1.23 existiere ein β ∈ B mit B = A[β]. Sei Φ ∈ A[X] das Minimalpolynom von β über K und φ := \overline{Φ} ∈ \overline{A}[X] das modulo P reduzierte Polynom. Wir schreiben φ = φ_{1}^{m_{1}} ⋯ φ_{s}^{m_{s}} mit s, m_{i} ∈ ℕ und paarweise verschiedenen normierten, irreduziblen φ_{i} ∈ \overline{A}[X] und wählen Φ_{i} ∈ A[X] mit φ_{i} = \overline{Φ_{i}}. Dann ist r = s und nach eventueller Umordnung Q_{i} = P B + Φ_{i}(β)B, e_{i} = m_{i} und f_{i} = grad φ_{i}.

Wir stellen nun noch einige spezielle Hilfsmittel bereit, die wir im dritten Teil der Arbeit häufiger benötigen werden. Um Diskriminanten zu berechnen, bedient man sich häufig der folgenden Rechenregel.

1.25 Lemma. Sei L/K eine separable Körpererweiterung vom Grad n mit β als primitivem Element und Φ das Minimalpolynom von β über K. Dann ist

D_{L/K}(β) = (−1)^{n(n−1)/2}N_{L/K}(Φ′(β)).

Beweis. Seien σ_{1}, …, σ_{n} wie in 1.3. (σ_{i}(β^{j−1}))_{1≤i,j≤n} ist die Vandermondesche Matrix in σ_{1}(β), …, σ_{n}(β), also gilt

D_{L/K}(β) = det^{2} (σ_{i}(β^{j−1}))_{1≤i,j≤n}
= ∏_{i<j}(σ_{j}(β) − σ_{i}(β))^{2}
= (−1)^{n(n−1)/2} ∏_{i≠j}(σ_{j}(β) − σ_{i}(β)).

Wir schreiben Φ = ∏_{i=1}^{n}(X − σ_{i}(β)), dann ist nach der Produktregel Φ′(β) = ∏_{σ≠id_{L}}(β − σ(β)), also

N_{L/K}(Φ′(β)) = ∏_{j=1}^{n} σ_{j}(Φ′(β)) = ∏_{j=1}^{n} ∏_{σ≠id_{L}}(σ_{j}(β) − (σ_{j}σ)(β)) = ∏_{j=1}^{n} ∏_{i≠j}(σ_{j}(β) − σ_{i}(β)).

□

Als spezielle Anwendung von 1.24 wollen wir eine häufig anzutreffende Situation untersuchen.

1.26 Lemma. Sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, L/K endlich, separabel und B der ganze Abschluß von A in L. Ist L = K(β) für ein β ∈ B und D_{L/K}(β) ∈ A^{∗}, so ist B = A[β] und für alle P ∈ Max(A) ist v_{P} unverzweigt in L/K.

Beweis. B = A[β] folgt direkt aus 1.5(c). Sei Φ ∈ A[X] das Minimalpolynom von β über K und L′ ein Zerfällungskörper von Φ über K, der L enthält (normale Hülle von L/K), dann ist L′/K galoissch und die K-Homomorphismen von L nach L′ sind die Abbildungen σ′|_{L} mit σ′ ∈ G′ := Aut(L′/K). Sei P ∈ Max(A) und w′ eine Fortsetzung von v := v_{P} nach L′. Wir bezeichnen mit die kanonische Restklassenabbildung R_{v} → k_{v} bzw. R_{w′} → k_{w′}, die wir auch auf die Polynomringe fortsetzen, und schreiben

Φ = ∏_{σ′∈H′}(X − σ′(β))

für eine geeignete Teilmenge H′ von G′. Da σ′(β) für alle σ′ ∈ G′ ganz über R_{v} ist, können wir zu Restklassen übergehen und erhalten eine Zerlegung

\overline{Φ} = ∏_{σ′∈H′}(X − \overline{σ′(β)})

in Linearfaktoren aus k_{w′}. Wegen

± ∏_{{σ′,τ′∈H′ \atop σ′≠τ′}} (σ′(β) − τ′(β)) = D_{L/K}(β) ∈ A^{∗} ⊆ R_{v}^{∗} ⊆ R_{w′}^{∗}

ist σ′(β) − τ′(β) ∉ P_{w′} für alle σ′, τ′ ∈ H′ mit σ′ ≠ τ′, d. h. \overline{Φ} hat in k_{w′} keine mehrfachen Nullstellen. Daher zerfällt \overline{Φ} in lauter verschiedene irreduzible Faktoren aus k_{v}[X]. Das bedeutet nach 1.24 gerade, daß v unverzweigt in L′/K ist. □

Mithilfe der vorigen beiden Lemmata kann das Fortsetzungsverhalten ‘gewisser’ Bewertungen in einer Radikalerweiterung bestimmt werden.

1.27 Beispiel. Sei v eine Bewertung des Körpers K und L = K(β) mit β^{n} = a ∈ K, v(a) = 0 und char(k_{v}) |/ n. Dann ist v unverzweigt in L/K.

Beweis. Man beachte, daß char(K) = 0 oder char(K) = char(k_{v}), also nX^{n−1} ≠ 0 ist. Daher ist L/K separabel. Sei B_{v} der ganze Abschluß von R_{v} in L. Da a ∈ R_{v}^{∗} ist, sind β und β^{−1} ganz über R_{v}, also β ∈ B_{v}^{∗}. Sei Φ ∈ R_{v}[X] das Minimalpolynom von β über K. Nach dem Lemma von Gauß existiert ein Ψ ∈ R_{v}[X] mit

X^{n} − a = ΦΨ.

Differenzieren und Einsetzen von β ergibt

Φ′(β)Ψ(β) = nβ^{n−1} ∈ B_{v}^{∗},

also

N_{L/K}(Φ′(β))N_{L/K}(Ψ(β)) = N_{L/K}(nβ^{n−1}) ∈ B_{v}^{∗} ∩ K = R_{v}^{∗}.

Da sowohl N_{L/K}(Φ′(β)) als auch N_{L/K}(Ψ(β)) ∈ R_{v} ist, folgt D_{L/K}(β) = ±N_{L/K}(Φ′(β)) ∈ R_{v}^{∗}. □

2 Galoiserweiterungen

In einer endlichen Galoiserweiterung ist das Fortsetzungsverhalten von Bewertungen besonders schön. Darauf wollen wir hier näher eingehen. Die getroffenen Aussagen sind üblicherweiser unter dem Stichwort ‘Galoisidealtheorie’ bekannt. Wir folgen im wesentlichen [L2, p. 12–18]. In diesem Abschnitt sei L/K eine endliche Körpererweiterung und v eine (feste) Bewertung von K. Mit W wollen wir die Menge der Fortsetzungen von v nach L bezeichnen.

2.1 Bemerkung. Sei w ∈ W.

(a) Ist L/K normal, so auch die Restklassenkörpererweiterung k_{w}/k_{v}.

(b) Für σ ∈ Aut(L/K) ist w^{σ} := w ∘ σ ∈ W mit e_{w^{σ}/v} = e_{w/v} und f_{w^{σ}/v} = f_{w/v}.

Beweis. (a) Sei α ∈ k_{w} und φ ∈ k_{v}[X] das Minimalpolynom von α über k_{v}. Wir bezeichnen mit die kanonische Restklassenabbildung R_{v} → k_{v} bzw. R_{w} → k_{w}, die wir uns auch auf die Polynomringe R_{v}[X] bzw. R_{w}[X] fortgesetzt denken. Nach 1.23(a) und 1.18 können wir α = \overline{a} = a + P_{w} schreiben mit einem über R_{v} ganzen a ∈ L. Sei f das Minimalpolynom von a über K. Da L/K normal ist, zerfällt f in Linearfaktoren aus L[X]:

f = ∏_{i}(X − a_{i}) mit a_{i} ∈ L.

Da f nach 1.2(b) aus R_{v}[X] ist, sind alle a_{i} ganz über R_{v}. Offenbar ist α Nullstelle von \overline{f} = ∏_{i}(X − \overline{a_{i}}), also gilt φ|\overline{f}, und φ zerfällt in Linearfaktoren aus k_{w}[X].

(b) w^{σ} ∈ W ist klar. Sei t ∈ K mit v(t) = 1, dann ist

e_{w^{σ}/v} = w^{σ}(t) = w(σ(t)) = w(t) = e_{w/v}.

Weiter ist

R_{w^{σ}} → R_{w}
a ↦ σ(a)

ein Ringisomorphismus mit σ(P_{w^{σ}}) = P_{w} und σ|_{R_{v}} = id_{R_{v}}, also

k_{w^{σ}} → k_{w}
a + P_{w^{σ}} ↦ σ(a) + P_{w}

ein k_{v}-Isomorphismus und daher f_{w^{σ}/v} = [k_{w^{σ}} : k_{v}] = [k_{w} : k_{v}] = f_{w/v}.

□

2.2 Satz und Definition. Sei L/K galoissch mit Gruppe G, w ∈ W, e := e_{w/v}, f := f_{w/v} und \overline{G}_{w} := Aut(k_{w}/k_{v}).

(a) Es gilt W = {w^{σ} : σ ∈ G}. Daher ist e_{w̃/v} = e und f_{w̃/v} = f für alle w̃ ∈ W und [L : K] = ef#W.

(b) G_{w}^{−} := {σ ∈ G : w = w^{σ}} ist eine Untergruppe von G. Sie heißt die Zerlegungsgruppe von w über v und der zugehörige Zwischenkörper L_{w}^{−} := Fix(L, G_{w}^{−}) der Zerlegungskörper von w über v.

(c) Ist w^{−} die Bewertung von L_{w}^{−} mit w/w^{−}, so ist w die einzige Fortsetzung von w^{−} nach L und f_{w^{−}/v} = 1.

(d) Für σ ∈ G_{w}^{−} ist

\overline{σ}_{w} : \begin{matrix}k_{w} & → & k_{w} \\ a + P_{w} & ↦ & σ(a) + P_{w} \end{matrix}

ein k_{v}-Automorphismus von k_{w}.

(e) Der Gruppenhomomorphismus

G_{w}^{−} → \overline{G}_{w}
σ ↦ \overline{σ}_{w}

ist surjektiv. Sein Kern G_{w}^{+} wird als die Trägheitsgruppe und L_{w}^{+} := Fix(L, G_{w}^{+}) als der Trägheitskörper von w über v bezeichnet.

Beweis. (a) Angenommen, es gibt ein w̃ ∈ W mit w̃ ≠ w^{σ} für alle σ ∈ G, dann ist auch w̃^{τ} ≠ w^{σ} für alle σ, τ ∈ G. Nach 1.19 existiert ein α ∈ L mit

w^{σ}(α) ≥ 1 ∀σ ∈ G und
w̃^{σ}(α − 1) ≥ 1 ∀σ ∈ G.

Für a := N_{L/K}(α) folgt einerseits

e_{w/v}v(a) = ∑_{σ∈G} w^{σ}(α) > 0,

andererseits ist w̃^{σ}(α) = 0 für alle σ ∈ G nach 1.13, also

e_{w̃/v}v(a) = ∑_{σ∈G} w̃^{σ}(α) = 0.

Dies ist ein Widerspruch. Der Rest der Behauptung folgt aus 2.1(b) und 1.23(b).

(b) Nur nachrechnen.

(c) Sei w̃ ebenfalls eine Fortsetzung von w^{−}. Dann existiert, da L/L_{w}^{−} galoissch ist, nach (a) ein σ ∈ Aut(L/L_{w}^{−}) mit w̃ = w^{σ}. Wegen Aut(L/L_{w}^{−}) = G_{w}^{−} ist aber w^{σ} = w. Nun zum zweiten Teil der Behauptung. Sei B^{−} der ganze Abschluß von R_{v} in L_{w}^{−} (ein Dedekindring nach 1.7) und Q^{−} := P_{w^{−}} ∩ B^{−} das maximale Ideal von B^{−} mit w^{−} = v_{Q^{−}} gemäß 1.23(a). Nach 1.18 genügt es, zu zeigen, daß die kanonische Einbettung

k_{v} ↪ B^{−}/Q^{−}
a + P_{v} ↦ a + Q^{−}

surjektiv ist. Sei also β ∈ B^{−}. Für σ ∈ G bezeichne w^{σ}^{−} die Bewertung von L_{w}^{−} mit w^{σ}/w^{σ}^{−}. Da w die einzige Fortsetzung von w^{−} nach L ist, ist w^{σ}^{−} ≠ w^{−} für alle σ ∈ G \ G_{w}^{−}. Folglich existiert nach 1.19 und 1.23(c) ein α ∈ B^{−} mit

(1) w^{−}(α − β) > 0 und
(2) w^{σ}^{−}(α − 1) > 0 ∀σ ∈ G \ G_{w}^{−}.

Dann haben wir a := N_{L_{w}^{−}/K}(α) ∈ R_{v}. Nach Galoistheorie ist {σ|_{L_{w}^{−}} : σ ∈ G} die Menge der K-Homomorphismen von L_{w}^{−} nach L und σ|_{L_{w}^{−}} = id_{L_{w}^{−}} ⟺ σ ∈ G_{w}^{−}, daher

a = α ∏_{σ∈H} σ(α) mit H ⊆ G \ G_{w}^{−}.

Mit (1) und (2) folgt a ≡ β (mod P_{w}), wegen a, β ∈ B^{−} also a + Q^{−} = β + Q^{−}.

(d) Folgt aus dem Beweis von 2.1(b).

(e) Sei w^{−} die Bewertung von L_{w}^{−} mit w/w^{−}. Nach (c) ist \overline{G}_{w} = Aut(k_{w}/k_{w^{−}}). Wir bezeichnen mit die Restklassenabbildung R_{w} → k_{w} bzw. R_{w^{−}} → k_{w^{−}}, die wir auch auf die Polynomringe fortsetzen. Nach dem Satz von Artin ist k_{w} galoissch über k′ := Fix(k_{w}, \overline{G}_{w}) und k_{w^{−}} ⊆ k′. Wir schreiben k_{w} = k′(\overline{a}) mit a ∈ R_{w} und das Minimalpolynom f von a über L_{w}^{−} in der Form

f = ∏_{σ∈H} (X − σ(a)) mit H ⊆ G_{w}^{−}.

Da nach (c) und 1.23(c) außerdem R_{w} der ganze Abschluß von R_{w^{−}} in L ist, gilt

f ∈ R_{w^{−}}[X]

und

σ(a) ∈ R_{w} ∀σ ∈ H.

Sei nun ψ ∈ \overline{G}_{w} beliebig. Da mit \overline{a} auch ψ(\overline{a}) Nullstelle von

\overline{f} = ∏_{σ∈H} (X − \overline{σ(a)}) = ∏_{σ∈H} (X − \overline{σ}_{w}(\overline{a})) ∈ k_{w^{−}}[X] ⊆ k′[X]

und ψ durch ψ(\overline{a}) eindeutig bestimmt ist, folgt ψ = \overline{σ}_{w} für ein σ ∈ H.

□

2.3 Definition. Ist in Teil (e) des vorigen Satzes #k_{v} =: q endlich, so wird \overline{G}_{w} bekanntlich erzeugt von dem Frobeniusautomorphismus φ_{w/v} mit φ_{w/v}(α) = α^{q} für alle α ∈ k_{w}. Jedes σ ∈ G_{w}^{−} mit \overline{σ}_{w} = φ_{w/v} heißt ein Frobeniusautomorphismus von w über v.

Sei im folgenden L/K abelsch, d. h. galoissch mit abelscher Galoisgruppe G. Dann vereinfacht sich die Sache noch weiter.

2.4 Bemerkung und Definition. Für w, w̃ ∈ W gilt

(a) G− ; w̃ = G_{w}^{−},

(b) G+ ; w̃ = G_{w}^{+}.

Wir können also G^{−} := G_{w}^{−} und G^{+} := G_{w}^{+} für beliebiges w ∈ W setzen. G^{−} heißt Zerlegungs-, G^{+} Trägheitsgruppe, L^{−} := Fix(L, G^{−}) Zerlegungs- und L^{+} := Fix(L, G^{+}) Trägheitskörper von v in L/K.

Beweis. Nach 2.2(a) ist w̃ = w^{τ} für ein τ ∈ G.

(a) σ ∈ G_{w}^{−} ⟹ w = w^{σ} ⟹ w̃ = w^{τ} = w^{στ} = w^{τσ} = w̃^{σ} ⟹ σ ∈ G− ; w̃. Umgekehrt

analog.

(b) Sei σ ∈ G^{−} = G_{w}^{−} = G− ; w̃. Nach Beweis von 2.1(b) gilt

\overline{σ}w̃ = id_{kw̃} ⟺ ∀β ∈ Rw̃ : β − σ(β) ∈ Pw̃
⟺ ∀β ∈ Rw̃ : τ(β) − σ(τ(β)) = τ(β − σ(β)) ∈ P_{w}
⟺ ∀α ∈ R_{w} : α − σ(α) ∈ P_{w}
⟺ \overline{σ}_{w} = id_{k_{w}},

also σ ∈ G+ ; w̃ ⟺ σ ∈ G_{w}^{+}.

□

Die Rechtfertigung der Begriffe ‘Zerlegungskörper’ und ‘Trägheitsköper’ liefert der folgende Satz.

2.5 Satz. Bezeichnet W^{−} bzw. W^{+} die Menge der Fortsetzungen von v nach L^{−} bzw. L^{+}, so gilt:

(a) [L^{−} : K] = #W^{−} = #W, d. h. v ist total zerlegt in L^{−}/K und über jedem w^{−} ∈ W^{−} liegt nur ein w ∈ W.

(b) Für w ∈ W, w^{+} ∈ W^{+}, w^{−} ∈ W^{−} mit w/w^{+}/w^{−}/v ist w^{+}/w^{−} träge und w/w^{+} total verzweigt.

Zusammengefaßt: f_{w/v} = f_{w^{+}/w^{−}} = [L^{+} : L^{−}] und e_{w/v} = e_{w/w^{+}} = [L : L^{+}] = #G^{+}.

Beweis. (a) Wir betrachten für festes w^{−} ∈ W^{−} die Abbildung

G/G^{−} → W^{−}
σG^{−} ↦ w^{−} ∘ σ.

Sie ist wohldefiniert und injektiv, denn für die Fortsetzung w ∈ W von w^{−} und σ, τ ∈ G gilt (unter Beachtung von 2.2(c) bei der dritten Äquivalenz):

\begin{aligned}σG^{−} = τG^{−} & ⟺ & σ^{−1}τ ∈ G^{−} & ⟺ & w = w^{τσ^{−1}} \\ & ⟺ & w^{−} = w^{−} ∘ (τσ^{−1}) & ⟺ & w^{−} ∘ σ = w^{−} ∘ τ. \end{aligned}

Sie ist surjektiv nach 2.2(a) angewendet auf L^{−}/K. Also gilt

[L^{−} : K] = #(G/G^{−}) = #W^{−}.

Nach 2.2(c) ist #W^{−} = #W.

(b) Nach 2.2(e) ist Aut(k_{w}/k_{v}) ≃ G^{−}/G^{+}, also

f_{w/v} = [L^{+} : L^{−}]. (1)

Wenden wir 2.2(e) auf die Erweiterung L/L^{+} an, so ergibt sich, daß der Gruppenhomomorphismus

G^{+} → Aut(k_{w}/k_{w^{+}})
σ ↦ \overline{σ}_{w}

surjektiv ist und den Kern G^{+} hat, daher ist

f_{w/w^{+}} = 1. (2)

Aus (a), (1), (2) und 1.23(b) folgt die Behauptung.

□

Zum Schluß wollen wir noch einmal zu der Situation aus 2.3 zurückkehren.

2.6 Bemerkung und Definition. Sei v unverzweigt in L/K und #k_{v} = q endlich. Dann gibt es genau ein σ ∈ G^{−} mit \overline{σ}_{w} = φ_{w/v} für ein und für alle w ∈ W. Dieses σ heißt der Artinautomorphismus von v in L/K. Desweiteren ist G^{−} = ⟨σ⟩ zyklisch und f_{w/v} die Ordnung von σ in G.

Beweis. Seien w, w̃ ∈ W. Nach 2.5 gilt

e_{w/v} = 1 ⟺ G^{+} = 1,

also existiert nach 2.2(e) ein eindeutig bestimmtes σ ∈ G^{−} mit \overline{σ}_{w} = φ_{w/v}. Dieses σ ist unabhängig von der Wahl von w. Wir können nämlich wieder w̃ = w^{τ} mit τ ∈ G schreiben und wie im Beweis von 2.4(b) folgern, daß

\overline{σ}w̃ = φ_{w̃/v} ⟺ ∀β ∈ Rw̃ : β^{q} − σ(β) ∈ Pw̃
⟺ ∀β ∈ Rw̃ : (τ(β))^{q} − σ(τ(β)) = τ(β^{q} − σ(β)) ∈ P_{w}
⟺ ∀α ∈ R_{w} : α^{q} − σ(α) ∈ P_{w}
⟺ \overline{σ}_{w} = φ_{w/v}.

G^{−} = ⟨σ⟩ ist klar nach Gruppentheorie. Aus 2.5 folgt

f_{w/v} = [L^{+} : L^{−}] = [L : L^{−}] = #G^{−} = # ⟨σ⟩ .
□

3 Komplettierung

In der Analysis wird der Körper der reellen Zahlen häufig als Vervollständigung des Körpers der rationalen Zahlen bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrages charakterisiert. Dieses Konzept läßt sich verallgemeinern. Die Theorie der sogenannten ‘lokalen Körper’ ist Anfang dieses Jahrhunderts entwickelt worden. Sie ist entstanden aus dem Versuch, die Laurent-Reihenentwicklung aus der Funktionentheorie zunächst auf die rationalen Zahlen (p-adische Zahlen), dann auf beliebige Körper zu übertragen. Wir wollen hier nur die für diese Arbeit benötigten Hilfsmittel bereitstellen. Eine breitere Darstellung der Theorie findet sich beispielsweise bei [Sr] oder [Cs].

3.1 Definition. Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Ein Absolutbetrag auf K ist eine Abbildung

| | : K → ℝ_{+}

mit den Eigenschaften

• |a| = 0 ⟺ a = 0,

• |a + b| ≤ |a| + |b| und

• |ab| = |a| |b|

für a, b ∈ K. Ist | | ein Absolutbetrag auf K, so nennen wir eine Abbildung

∥ ∥ : V → ℝ_{+}

eine | |-Norm auf V, wenn für alle a ∈ K und x, y ∈ V gilt:

• ∥x∥ = 0 ⟺ x = 0, • ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ und

• ∥ax∥ = |a| ∥x∥.

Zwei | |-Normen ∥ ∥ und ∥ ∥′ auf V heißen äquivalent, falls m, M > 0 existieren mit m∥x∥ ≤ ∥x∥′ ≤ M∥x∥ für alle x ∈ V.

3.2 Bemerkung und Definition. Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum, | | ein Absolutbetrag auf K und ∥ ∥ eine | |-Norm auf V.

(a) Ist V = K, so ist ∥ ∥ = λ| | mit λ > 0.

(b) Durch d(x, y) := ∥x − y∥ für x, y ∈ V wird eine Metrik auf V erklärt. Die Begriffe Nullfolge, Cauchy-Folge, Konvergenz, Vollständigkeit werden wie üblich definiert.

(c) Ist v eine Bewertung von K und ρ > 1, so wird durch |a|_{v} := ρ^{−v(a)} für a ∈ K ein Absolutbetrag auf K definiert, der die stärkere Dreiecksungleichung

|a + b|_{v} ≤ max{|a|_{v}, |b|_{v}}

für a, b ∈ K erfüllt. Die Konvergenz bezüglich | |_{v} ist von ρ unabhängig, denn für eine Folge (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} ∈ K gilt

|a_{n}|_{v} → 0 ⟺ v(a_{n}) → ∞.

Man spricht daher von Konvergenz, Vollständigkeit etc. bezüglich v.

(d) Ist ∥ ∥′ eine weitere | |-Norm auf V, die zu ∥ ∥ äquivalent ist, so ist die Menge der ∥ ∥-Nullfolgen gleich der Menge der ∥ ∥′-Nullfolgen, also stimmen die Begriffe aus (b) für beide Normen überein.

(e) Hat V eine endliche K-Basis (e_{1}, …, e_{r}), so wird durch

∥∑_{i=1}^{r} x_{i}e_{i}∥_{1} := ∑_{i=1}^{r} |x_{i}|, x_{i} ∈ K,

eine | |-Norm auf V definiert. Ist (K, | |) vollständig, so auch (V, ∥ ∥_{1}).

Beweis. (a)–(d) Einfaches Nachrechnen.

(e) Sei (x^{(n)})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in (V,∥ ∥_{1}). Wir schreiben x^{(n)} = ∑_{i=1}^{r} x_{i}^{(n)}e_{i} mit x_{i}^{(n)} ∈

K, dann ist (x_{i}^{(n)})_{n∈ℕ} eine Cauchy-Folge in (K, | |) für 1 ≤ i ≤ r. Wir setzen nun x_{i} :=

lim_{n→∞} x_{i}^{(n)} und zeigen, daß (x^{(n)})_{n∈ℕ} bezüglich ∥ ∥_{1} gegen x := ∑_{i} x_{i}e_{i} konvergiert. Sei ε > 0. Nach Definition der x_{i} existiert ein n_{i} ∈ ℕ mit

|x_{i}^{(n)} − x_{i}| ≤ \frac{ε}{r} ∀n ≥ n_{i}.

Für n ≥ n_{0} := max{n_{i} : 1 ≤ i ≤ r} gilt somit

∥x^{(n)} − x∥_{1} = ∑_{i=1}^{r} |x_{i}^{(n)} − x_{i}| ≤ ε.

□

Der folgende Satz scheint zunächst aus der Analysis bekannt zu sein. Man beachte jedoch, daß wir es mit beliebigen, i. a. nicht geordneten Körpern zu tun haben und der Beweis aus der Analysis daher nicht einfach kopiert werden kann. Wir haben uns hier an [L1, p. 409] orientiert.

3.3 Satz. Sei (K, | |) vollständig und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Dann sind alle | |-Normen auf V äquivalent.

Beweis. Sei (e_{1}, …, e_{r}) eine K-Basis von V, ∥ ∥_{1} wie in 3.2(e) und ∥ ∥ irgendeine | |-Norm auf V. Es genügt zu zeigen, daß ∥ ∥ äquivalent zu ∥ ∥_{1} ist. Wir setzen M := max{∥e_{i}∥ : 1 ≤ i ≤ r}, dann gilt für beliebiges x := ∑_{i} x_{i}e_{i} ∈ V mit x_{i} ∈ K, daß ∥x∥ = ∥∑_{i} x_{i}e_{i}∥ ≤ ∑_{i} |x_{i}| ∥e_{i}∥ ≤ M ∑_{i} |x_{i}| = M∥x∥_{1} ist. Also haben wir

∥ ∥ ≤ M∥ ∥_{1}. (1)

Bleibt zu zeigen, daß umgekehrt für jede Folge (x^{(n)})_{n∈ℕ} aus V gilt:

lim_{n→∞} ∥x^{(n)}∥ = 0 ⟹ lim_{n→∞} ∥x^{(n)}∥_{1} = 0.

Wir beweisen dies durch vollständige Induktion nach r. Für r = 1 ist ∥ ∥ = ∥e_{1}∥∥ ∥_{1}, also die Aussage klar. Sei r > 1 und (x^{(n)})_{n∈ℕ} Nullfolge bezüglich ∥ ∥ mit x^{(n)} = ∑_{i} x_{i}^{(n)}e_{i}, x_{i}^{(n)} ∈ K. Angenommen (∥x^{(n)}∥_{1})_{n∈ℕ} ist keine Nullfolge, dann ist eine Koeffizientenfolge, o. B. d. A.

(x_{1}^{(n)})_{n∈ℕ} keine Nullfolge. Wir können (nach eventuellem Übergang zu einer entsprechenden Teilfolge) schließen, daß ε > 0 existiert mit

|x_{1}^{(n)}| ≥ ε ∀n ∈ ℕ.

Es folgt ∥\frac{x^{(n)}}{x_{1}^{(n)}} ∥ → 0, also gilt für

y^{(n)} := ∑_{i=2}^{r} \frac{x_{i}^{(n)}}{x_{1}^{(n)}} e_{i} ∈ W := ⨁_{i=2}^{r} Ke_{i} ⊆ V,

daß

lim_{n→∞} ∥y^{(n)} + e_{1}∥ = 0. (2)

Insbesondere ist (y^{(n)})_{n∈ℕ} Cauchy-Folge in (W,∥ ∥), also nach Induktionsvoraussetzung Cauchy-Folge in (W,∥ ∥_{1}). Nach 3.2(e) konvergiert (y^{(n)})_{n∈ℕ} gegen ein y ∈ W bezüglich ∥ ∥_{1} und nach (1) auch bezüglich ∥ ∥. Dies ist ein Widerspruch zu (2), da e_{1} ∉ W ist. □

Der folgende wichtige Satz ist nun eine leichte Folgerung.

3.4 Satz. Sei L/K endliche Körpererweiterung und K vollständig bezüglich einer Bewertung v. Dann hat v genau eine Fortsetzung w nach L, und L ist vollständig bezüglich w.

Beweis. Existenz nach 1.21(b). Seien w_{1} und w_{2} Fortsetzungen von v nach L und e_{i} := e_{w_{i}/v}. Wir wählen ρ, σ_{i} > 1 mit ρ = σ_{i}^{e_{i}} und setzen | | := | |_{v} := ρ^{−v} und ∥ ∥_{i} := | |_{w_{i}} := σ_{i}^{−w_{i}} gemäß 3.2(c). Dann ist

∥ab∥_{i} = σ_{i}^{−e_{i}v(a)}σ_{i}^{−w_{i}(b)} = |a| ∥b∥_{i}

für alle a ∈ K, b ∈ L, also ∥ ∥_{i} eine | |-Norm auf L. Da w_{i} nach 1.16 bestimmt ist durch

R_{w_{i}} = {b ∈ L : (∥b^{−n}∥_{i})_{n∈ℕ} ist keine Nullfolge},

folgt nach 3.3 und 3.2(d), daß w_{1} = w_{2} ist. Die zweite Aussage ergibt sich dann mit 3.2(e). □

3.5 Korollar. Sei L/K endlich, K vollständig bezüglich der Bewertung v und w die Fortsetzung von v nach L. Ist f ∈ K[X] ein irreduzibles Polynom mit Nullstellen α, β ∈ L, so gilt w(α) = w(β).

Beweis. Sei o. B. d. A. L/K normal, dann ist β = σ(α) für ein σ ∈ Aut(L/K). Wegen 2.1(b) und dem vorhergehenden Satz ist w = w^{σ}, also folgt die Behauptung. □

In den meisten praktischen Anwendungen, wie auch in Teil III dieser Arbeit, sind die betrachteten Körper leider nicht vollständig. Doch dagegen kann man etwas tun.

3.6 Definition. Sei K ein Körper mit einem Absolutbetrag | |. Ein Oberkörper K̂ von K mit einem Absolutbetrag ∥ ∥, der auf K mit | | übereinstimmt, heißt Komplettierung von K (bezüglich | |), falls gilt:

(a) (K̂, ∥ ∥) ist vollständig, und

(b) K liegt dicht in K̂.

Die Existenz und Eindeutigkeit der Komplettierung wird gesichert durch den folgenden Satz.

3.7 Satz. Sei | | ein Absolutbetrag auf dem Körper K. Die Menge der | |-Cauchy-Folgen bzw. | |-Nullfolgen bezeichnen wir mit C bzw. N.

(a) C ist (bei gliedweiser Addition und Multiplikation von Folgen) ein kommutativer Ring, N ein maximales Ideal von C.

(b) Auf dem Körper K̂ := C/N wird durch

∥(a_{n})_{n∈ℕ} + N ∥ := lim_{n→∞} |a_{n}|

für (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ C ein Absolutbetrag auf K̂ definiert. Die kanonische Einbettung

K ↪ K̂
a ↦ (a)_{n∈ℕ} + N

fassen wir als Inklusion auf.

(c) (K̂, ∥ ∥) ist vollständig.

(d) K liegt dicht in K̂.

(e) Ist K̃ ebenfalls eine Komplettierung von K, so ist die Abbildung

K̂ → K̃
(a_{n})_{n∈ℕ} + N ↦ lim_{n→∞} a_{n}

ein K-Isomorphismus.

Beweis. (a) Ring- und Idealeigenschaften folgen mit den üblichen Abschätzungen bei Summen und Produkten von Folgen. Bleibt zu zeigen, daß N maximal, d. h. C/N ein Körper ist. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ C \ N. Dann existiert ε > 0 und ein n_{0} ∈ ℕ, so daß |a_{n_{0}}| ≥ 2ε. Wählen wir n_{0} dabei genügend groß, so haben wir noch |a_{n_{0}} − a_{n}| ≤ ε, also |a_{n}| = |a_{n_{0}} − (a_{n_{0}} − a_{n})| ≥ |a_{n_{0}}| − |a_{n_{0}} − a_{n}| ≥ ε für alle n ≥ n_{0}. Setzen wir b_{n} := 1/a_{n} für n ≥ n_{0} und b_{n} := 0 für n < n_{0}, so ergibt sich

|b_{n} − b_{m}| = |\frac{a_{m} − a_{n}}{a_{n}a_{m}} | ≤ ε^{−2}|a_{n} − a_{m}| ∀m, n ≥ n_{0},

also (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ C, und wegen a_{n}b_{n} = 1 für alle n ≥ n_{0}:

(a_{n})_{n∈ℕ} (b_{n})_{n∈ℕ} ≡ 1 (mod N).

(b) Man beachte, daß ℝ vollständig, also lim_{n→∞} |a_{n}| definiert ist. Die Eigenschaften des Absolutbetrags sind leicht zu verifizieren. Klar ist, daß bei der angegebenen Einbettung ∥ ∥ auf K mit | | übereinstimmt.

(c)–(e) Geht wie bei der Komplettierung von Vektorräumen in der Funktionalanalysis oder bei der Konstruktion von ℝ aus ℚ.

□

3.8 Definition und Satz. Mit den Bezeichnungen aus 3.7 sei speziell | | = | |_{v} = ρ^{−v} mit einer Bewertung v von K und ρ > 1 wie in 3.2(c). K̂ heißt dann die Komplettierung von K nach v. Durch

v̂((a_{n})_{n∈ℕ} + N) := lim_{n→∞} v(a_{n})

für (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ C wird eine (kanonische) Fortsetzung von v nach K̂ definiert, so daß ∥ ∥ = | |v̂ = ρ^{−v̂} ist. Ferner gilt

e_{v̂/v} = f_{v̂/v} = 1.

Beweis. Sei (a_{n})_{n∈ℕ} ∈ C und α := (a_{n})_{n∈ℕ}+N. Für α = 0 ist lim_{n→∞} v(a_{n}) = ∞. Ist α ≠ 0, so ist lim_{n→∞} |a_{n}| > 0, und da {ρ^{−m} : m ∈ ℤ} in ℝ^{∗} keinen Häufungspunkt hat, existiert ein n_{0} ∈ ℕ, so daß v(a_{n}) = v(a_{n_{0}}) ist für alle n ≥ n_{0}. Daher ist lim_{n→∞} v(a_{n}) = v(a_{n_{0}}) ∈ ℤ. Die übrigen Bewertungsaxiome, ∥ ∥ = ρ^{−v̂} sowie e_{v̂/v} = 1 sind klar. Bleibt noch zu zeigen, daß die kanonische Einbettung

R_{v}/P_{v} → Rv̂/Pv̂
a + P_{v} ↦ a + Pv̂

surjektiv ist. Sei α = (a_{n})_{n∈ℕ} + N ∈ Rv̂. Da (a_{n})_{n∈ℕ} Cauchy-Folge ist, existiert ein n_{1} ∈ ℕ, so daß |a_{n} − a_{n_{1}}| < 1, d. h. v(a_{n} − a_{n_{1}}) > 0 für alle n ≥ n_{1} gilt. Nach Definition ist dann

v̂ ((a_{n} − a_{n_{1}})_{n∈ℕ} + N ) > 0,

d. h. α − a_{n_{1}} ∈ Pv̂, und wegen α ∈ Rv̂ ist a_{n_{1}} ∈ Rv̂ ∩ K = R_{v}. □

3.9 Beispiel. Sei k ein Körper und t eine Unbestimmte über k. Die Komplettierung des rationalen Funktionenkörpers k(t) nach der t-adischen Bewertung v := v_{t} wird mit k((t)) bezeichnet.

(a) Für eine beliebige Koeffizientenfolge a_{0}, a_{1}, … ∈ k ist die Folge (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} der Partialsummen x_{n} := ∑_{i=0}^{n} a_{i}t^{i} ∈ k[t] eine Cauchy-Folge bezüglich v. Ihr Grenzwert x in k((t)) wird mit ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} bezeichnet. Ist a_{n} = 0 für alle n > n_{0}, so ist x = ∑_{i=0}^{n_{0}} a_{i}t^{i} ∈ k[t]. Ferner gilt

x = 0 ⟺ ∀n ∈ ℕ_{0} : a_{n} = 0,

also sind die a_{n} durch x eindeutig bestimmt.

(b) Die Menge

k[[t]] := {∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n} : a_{n} ∈ k ∀n ∈ ℕ_{0}}

ist ein Unterring von k((t)) und heißt der (formale) Potenzreihenring über k. Das Produkt zweier (formaler) Potenzreihen ist gleich ihrem Cauchy-Produkt.

(c) Es gilt

R_{v} = \{\frac{f}{g} ∈ k(t) : f, g ∈ k[t], g(0) ≠ 0\} ⊆ k[[t]].

(d) Für q ∈ k und r ∈ ℕ gilt beispielsweise

\frac{1}{1 − (qt)^{r}} = ∑_{n=0}^{∞} q^{rn}t^{rn}.

Beweis. (a) Für m ≤ n ist

v(x_{n} − x_{m}) = v ( ∑_{i=m+1}^{n} a_{i}t^{i}) > m,

also ist (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} eine Cauchy-Folge bezüglich v. Die zweite Aussage ist offensichtlich. Bei der letzten Behauptung ist nur die Richtung von links nach rechts zu zeigen. Sind nicht alle a_{n} = 0, so wählen wir n_{0} ∈ ℕ_{0} minimal mit a_{n_{0}} ≠ 0. Dann ist v(x_{n}) = n_{0} für alle n ≥ n_{0}, also ist (x_{n})_{n∈ℕ_{0}} keine Nullfolge.

(b) Seien x = ∑_{n=0}^{∞} a_{n}t^{n}, y = ∑_{n=0}^{∞} b_{n}t^{n} ∈ k[[t]] zwei (formale) Potenzreihen und z := ∑_{n=0}^{∞} c_{n}t^{n} mit c_{n} := ∑_{i+j=n} a_{i}b_{j} ihr Cauchy-Produkt. Für die n-ten Partialsummen x_{n}, y_{n} und z_{n} gilt v(x_{n}y_{n} − z_{n}) > n, also folgt

xy = lim_{n→∞} x_{n}y_{n} = lim_{n→∞} z_{n} = z.

Die übrigen Ringeigenschaften sind klar.

(c) Sei \frac{f}{g} ∈ R_{v} mit f = ∑_{i=0}^{m} f_{i}t^{i}, g = ∑_{j=0}^{n} g_{j}t^{j} ∈ k[t], f_{i}, g_{j} ∈ k, dann können wir durch Auskürzen g_{0} ≠ 0 erreichen. Setzen wir außerdem f_{i} = 0 für i > m und g_{j} = 0 für j > n, so können wir

a_{i} := \frac{1}{g_{0}} (f_{i} − ∑_{j=1}^{i} g_{j}a_{i−j})

für i = 0, 1, 2, … rekursiv berechnen und x := ∑_{i=0}^{∞} a_{i}t^{i} definieren. Wir erhalten f_{i} = ∑_{j=0}^{i} g_{j}a_{i−j} für alle i ∈ ℕ_{0}, also

f = ∑_{i=0}^{∞} ∑_{j=0}^{i} g_{j}a_{i−j}t^{i} = ∑_{j=0}^{m} ∑_{i=j}^{∞} g_{j}a_{i−j}t^{i} = gx.

(d) Wegen

(1 − (qt)^{r}) ∑_{n=0}^{∞} q^{rn}t^{rn} = ∑_{n=0}^{∞} q^{rn}t^{rn} − ∑_{n=1}^{∞} q^{rn}t^{rn} = 1.

□

Um die Methode der Komplettierung auf eine Erweiterung von nicht vollständigen Körpern anwenden zu können, müssen wir wissen, in welchem Verhältnis sie zur Erweiterung der vervollständigten Körper steht. Den Zusammenhang beschreibt der folgende Satz.

3.10 Satz. Sei L/K endlich, v eine Bewertung von K und w eine Fortsetzung von v nach L, K̂ bzw. L̂ die Komplettierung von K bzw. L nach v bzw. w, schließlich v̂ bzw. ŵ die kanonische Fortsetzung von v bzw. w nach K̂ bzw. L̂ aus dem vorigen Satz. Dann ist K̂ auf natürliche Weise in L̂ enthalten. Außerdem gilt:

(a) ŵ ist die einzige Fortsetzung von v̂ nach L̂, e_{ŵ/v̂} = e_{w/v} und f_{ŵ/v̂} = f_{w/v}.

(b) L̂ = K̂L.

Beweis. Wir bezeichnen mit M bzw. N die Menge der Nullfolgen aus K bzw. L. Die kanonische Einbettung

K̂ → L̂
(a_{n})_{n∈ℕ} + M ↦ (a_{n})_{n∈ℕ} + N

kommutiert mit den Einbettungen K ↪ K̂ und L ↪ L̂ aus 3.7(b) und wird ebenfalls als Inklusion aufgefaßt.

(a) Folgt aus 3.4 und 3.8 durch einfaches Nachrechnen.

(b) Nach 3.4 hat v̂ (genau) eine Fortsetzung w̃ nach L̃ := K̂L und L̃ ist vollständig bezüglich w̃. Wegen L ⊆ L̃ ⊆ L̂ ist w̃ Fortsetzung von w mit ŵ/w̃, so da L̃ = L̂ sein mu.

□

Zum Ende dieses Abschnitts möchte ich noch ein sehr nützlches Verfahren vorstellen, um Polynome über vollständigen Körpern in (nicht notwendig irreduzible) Faktoren zu zerlegen. In der Literatur ist es unter dem Stichwort ‘Newtonpolygon’ zu finden.

3.11 Definition. Sei K ein Körper mit einer Bewertung v und f = ∑_{j=0}^{n} a_{j}X^{j} ∈ K[X] ein Polynom mit a_{0}a_{n} ≠ 0. Für i ≠ j und a_{i}a_{j} ≠ 0 setzen wir

δ(i, j) := \frac{v(a_{j}) − v(a_{i})}{j − i}.

Wir definieren das Newtonpolygon von f bezüglich v als die Menge

Π(f) := {(j, v(a_{j})) : a_{j} ≠ 0, und für i < j < k mit a_{i}a_{k} ≠ 0 gilt δ(i, j) < δ(j, k)} ,

anschaulich die ‘untere konvexe Einhüllende’ aller Punkte (j, v(a_{j})) mit a_{j} ≠ 0, und schreiben Π(f) = {(j_{m}, v(a_{j_{m}})) : 0 ≤ m ≤ s} mit 0 = j_{0} < ⋯ < j_{s} = n. Für die Steigungen γ_{m} := δ(j_{m−1}, j_{m}) der Kanten von Π(f) gilt offenbar

γ_{1} < ⋯ < γ_{s}.

Die folgende Bemerkung ist eine rein geometrische Aussage, die anschaulich leicht einzusehen ist: Steckt ein Teil der Punkte (j, v(a_{j})) einen konvexen Polygonzug ab und liegen alle übrigen Punkte oberhalb dieses Polygonzuges, so bildet dieser Teil bereits das Newtonpolygon von f. Zuvor wollen wir uns kurz klarmachen, daß

δ(i, j) < δ(i, k) ⟺ δ(i, k) < δ(j, k) ⟺ δ(i, j) < δ(j, k) (∗)

ist für i < j < k und a_{i}a_{j}a_{k} ≠ 0. Die erste Äquivalenz sieht man, indem man in beiden Ungleichungen v(a_{j}) auf die linke Seite bringt. Die rechten Seiten sind dann gleich. Die zweite Äquivalenz ergibt sich unmittelbar aus der ersten.

3.12 Bemerkung. Mit den Bezeichnungen von 3.11 sei 0 = h_{0} < ⋯ < h_{t} = n, a_{h_{m}} ≠ 0 für 0 ≤ m ≤ t,

(a) δ(h_{m−1}, h_{m}) < δ(h_{m}, h_{m+1}) für 0 < m < t und

(b) δ(h_{m−1}, j) ≥ δ(j, h_{m}), wenn immer h_{m−1} < j < h_{m} und a_{j} ≠ 0 ist.

Dann ist Π(f) = {(h_{m}, v(a_{h_{m}})) : 0 ≤ m ≤ t}.

Beweis. Nach (b) und Definition von Π(f) gilt Π(f) ⊆ {(h_{m}, v(a_{h_{m}})) : 0 ≤ m ≤ t}. Mittels (∗) und vollständiger Induktion nach r − l läßt sich (a) verallgemeinern zu

l < m < r ⟹ δ(h_{l}, h_{m}) < δ(h_{m}, h_{r}). (1)

Wir zeigen nun per Fallunterscheidung, daß

i < h_{m}, a_{i} ≠ 0 ⟹ δ(i, h_{m}) ≤ δ(h_{m−1}, h_{m}). (2)

Für h_{m−1} ≤ i < h_{m} folgt dies aus (b) und (∗), für i = h_{l} mit l < m − 1 aus (1) und (∗). Für h_{l−1} < i < h_{l} mit l < m können wir unter Verwendung von (b), (∗) und (1) folgern, daß δ(i, h_{l}) ≤ δ(h_{l−1}, h_{l}) < δ(h_{l}, h_{m}), also δ(i, h_{m}) < δ(h_{l}, h_{m}) ≤ δ(h_{m−1}, h_{m}) ist. Analog läßt sich

h_{m} < k, a_{k} ≠ 0 ⟹ δ(h_{m}, h_{m+1}) ≤ δ(h_{m}, k) (3)

beweisen. Aus (2), (a) und (3) folgt (h_{m}, v(a_{h_{m}})) ∈ Π(f). □

Wir kommen jetzt zu dem angestrebten Satz über das Newtonpolygon. Der sehr elegante Beweis stammt aus [Ws, p. 74f].

3.13 Satz. Sei K ein Körper, vollständig bezüglich der Bewertung v, L/K endlich und f = ∑_{j=0}^{n} a_{j}X^{j} ∈ K[X] ein Polynom mit a_{0}a_{n} ≠ 0, dessen sämtliche Nullstellen in L liegen. Ist w die Fortsetzung von v nach L und e := e_{w/v} ihr Verzweigungsindex, so gilt mit den Bezeichnungen aus 3.11 für 1 ≤ m ≤ s:

(a) f hat, wenn man Vielfachheiten zählt, genau j_{m} − j_{m−1} Nullstellen α_{j_{m−1}+1}, …, α_{j_{m}} mit w(α_{i}) = −eγ_{m} für j_{m−1} < i ≤ j_{m}.

(b) Das Polynom

f_{m} := ∏_{j_{m−1}<i≤j_{m}}(X − α_{i})

liegt in K[X] und hat Newtonpolygon Π(f_{m}) = {(0, −(j_{m} − j_{m−1})γ_{m}), (j_{m} − j_{m−1}, 0)}.

Beweis. Da sich die γ_{m} bei Multiplikation von f mit Elementen aus K^{∗} nicht ändern, können wir o. B. d. A. f als normiert annehmen. Wir schreiben f = ∏_{i=1}^{n}(X − α_{i}) mit α_{i} ∈ L und ordnen die α_{i} nach fallenden Werten für w(α_{i}), d. h.

λ_{m} := w(α_{h_{m−1}+1}) = ⋯ = w(α_{h_{m}}), 1 ≤ m ≤ t,

mit 0 = h_{0} < ⋯ < h_{t} = n und λ_{1} > ⋯ > λ_{t}.

(a) Für die Koeffizienten

a_{j} = ± ∑_{{I⊆\{1,...,n\} \atop #I=n−j}} ∏_{i∈I} α_{i}

von f ergibt sich nach 1.13(c) und 1.11(c)

w(a_{h_{m}}) = w(α_{h_{m}+1} ⋯ α_{n}) = ∑_{m<r≤t}(h_{r} − h_{r−1})λ_{r}

und

h_{m−1} < j < h_{m} ⟹ w(a_{j}) ≥ w(α_{j+1} ⋯ α_{n}) = (h_{m} − j)λ_{m} + w(a_{h_{m}}),

also gilt für h_{m−1} < j < h_{m}, a_{j} ≠ 0:

eδ(j, h_{m}) = \frac{w(a_{h_{m}}) − w(a_{j})}{h_{m} − j} ≤ −λ_{m} = \frac{w(a_{h_{m}}) − w(a_{h_{m−1}})}{h_{m} − h_{m−1}} = eδ(h_{m−1}, h_{m}).

Mit (∗) und 3.12 folgt Π(f) = {(h_{m}, v(a_{h_{m}})) : 0 ≤ m ≤ t}, daher t = s und für 1 ≤ m ≤ s: h_{m} = j_{m} und λ_{m} = −eγ_{m}. Man beachte, daß bis hierhin von der Vollständigkeit kein Gebrauch gemacht wurde.

(b) Wir beweisen f_{m} ∈ K[X] durch vollständige Induktion nach n = grad f. Für n ≤ 1 ist die Aussage trivial. Sei n > 1 und φ das Minimalpolynom von α_{1} über K. Nach 3.5 ist f_{1} = φg_{1} mit g_{1} ∈ L[X] und f = φg mit g = g_{1} ∏_{m=2}^{s} f_{m} ∈ K[X]. Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf g ergibt

g_{1}, f_{2}, …, f_{s} ∈ K[X]

und damit auch f_{1} = φg_{1} ∈ K[X]. Die zweite Aussage ergibt sich, indem wir (a) auf f_{m} anwenden.

□

Teil II

Algebraische Funktionenkörper

Wir wollen nun die Theorie algebraischer Funktionen in einer Variablen behandeln. Sie weist viele Analogien zur algebraischen Zahlentheorie auf und läßt andererseits eine Reihe geometrischer Interpretationen zu, was uns zur algebraischen Geometrie führen würde. Wir haben uns hier bewußt für einen algebraischen Zugang entschieden, da wir auch später bei den zyklotomischen Funktionenkörpern an eher algebraischen Fragen (Galoisgruppe, Ring ganzer Zahlen, Geschlecht, Klassenzahlen) interessiert sind, während der geometrische Aspekt allenfalls in den Bezeichnungen (abstrakte Kurve, Pol, Differential) durchscheint. Die hiermit verbundene Problematik bespricht Chevalley in der Einleitung zu seinem Buch [Cv], das uns für die Abschnitte 4 und 5 als grober Leitfaden dienen wird. Lassen wir in diesen Abschnitten noch (fast) beliebige Grundkörper zu, so betrachten wir in Abschnitt 6 algebraische Funktionenkörper über endlichem Konstantenkörper. Bei ihnen wird die Analogie zu den algebraischen Zahlkörpern noch enger. Wir werden für sie [FJ, Chapter 3] folgend eine zur Riemannschen Vermutung (vgl. [Nk, p. 452]) analoge Aussage formulieren, die als Satz von Weil bekannt ist.

4 Divisoren und Differentiale

Die algebraischen Funktionenkörper stellen eine besondere Klasse bewerteter Körper dar. Ausgehend von den Bewertungen eines rationalen Funktionenkörpers (Satz 4.3) werden wir die allgemeine Struktur algebraischer Funktionenkörper untersuchen und dafür einige Begriffe (Konstantenkörper, Divisoren, Klassengruppe, Geschlecht, Differentiale) einführen. Als zentrale Aussage dieses Abschnitts ist wohl der Satz von Riemann-Roch anzusehen, den wir in mehreren Varianten kennenlernen werden.

4.1 Definition. Sei k ein Körper. Ein Oberkörper K von k heißt algebraischer Funktionenkörper (in einer Variablen) über k, falls K endliche Erweiterung eines rationalen Funktionenkörpers k(x) mit transzendentem x über k ist. Die Elemente von K heißen dann (algebraische) Funktionen über k. Eine Bewertung v von K heißt Bewertung von K über k, wenn außer den Bewertungseigenschaften 1.11 noch v(k^{∗}) = 0 gilt. Die Menge aller Bewertungen von K über k wird mit V (K/k) bezeichnet und heißt die abstrakte Kurve von K/k. Ihre Elemente nennt man auch Punkte oder Stellen (von K/k). Ein Punkt v ∈ V (K/k) heißt Nullstelle bzw. Pol(stelle) einer Funktion z ∈ K der Ordnung m, falls v(z) = m > 0 bzw. v(z) = −m < 0 ist.

Einfachstes Beispiel eines algebraischen Funktionenkörpers über k ist der rationale Funktionenkörper k(x) selbst, dessen abstrakte Kurve wir gleich bestimmen werden. Im folgenden sei K/k stets ein algebraischer Funktionenkörper. Nach Definition hat K über k den Transzendenzgrad 1.

a. Konstantenkörper. Die Forderung v(k^{∗}) = 0 bedeutet für endliches k keine Einschränkung, da in diesem Fall v(k^{∗}) als endliche Untergruppe von ℤ ohnehin trivial ist. Sie ermöglicht uns jedoch, k in den Restklassenkörper k_{v} kanonisch einzubetten.

4.2 Definition. Sei v ∈ V (K/k). Die kanonische Einbettung

k ↪ k_{v}
a ↦ a + P_{v}

fassen wir als Inklusion auf. f_{v} := [k_{v} : k] heißt der (absolute Restklassen)grad von v (über k). Eine Bewertung vom Grad 1 heißt ein rationaler Punkt von K/k. Die Menge aller rationalen Punkte von K/k wird mit V_{1}(K/k) bezeichnet.

Wir werden als Korollar des folgenden Satzes erhalten, daß f_{v} stets endlich ist. Die Aussage (c) dieses Satzes ist das Analogon zum Satz von Ostrowski aus der algebraischen Zahlentheorie.

4.3 Satz. Sei x transzendent über k und K = k(x).

(a) Für z = \frac{r}{s} ∈ K mit r, s ∈ k[x] setzen wir v_{∞}(z) := grad s − grad r. Damit ist v_{∞} eine Bewertung von K/k. Sie heißt die Gradbewertung von K/k.

(b) Für jede p-adische Bewertung v_{p} mit normiertem, irreduziblem p ∈ k[x] gilt f_{v_{p}} = grad p, und für die Gradbewertung gilt f_{v_{∞}} = 1.

(c) V (K/k) = {v_{p} : p ∈ k[x] normiert, irreduzibel} ∪ {v_{∞}}.

(d) k[x] = ⋂_{{v∈V (K/k) \atop v≠v_{∞}}} R_{v}.

Beweis. (a) Die Bewertungseigenschaften lassen sich leicht direkt nachprüfen. Oder man mache sich klar, daß v_{∞} = v_{\frac{1}{x}} ist (\frac{1}{x} ist Primelement in k[\frac{1}{x}]).

(b) Nach 1.18 ist k_{v_{p}} ≃ k[x]/(p). Für v_{∞} kann man entweder direkt die Surjektivität von k ↪ k_{v_{∞}} nachweisen, oder man führt die Überlegungen aus Teil (a) des Beweises fort.

(c) Sei v ∈ V (K/k). Wir unterscheiden zwei Fälle. Ist k[x] ⊆ R_{v}, so können wir ein o. B. d. A. normiertes, irreduzibles p ∈ k[x] wählen mit minimalem v(p) > 0. Für p |/ f ∈ k[x] existieren g, h ∈ k[x] mit pg + fh = 1, also gilt

0 = v(1) ≥ min{v(p) + v(g), v(f) + v(h)},

woraus v(f) = 0 folgt. Für beliebiges z ∈ K schreiben wir z = p^{m} \frac{r}{s} mit m ∈ ℤ, r, s ∈ k[x], p |/ rs und erhalten v(z) = mv(p). Die Surjektivität von v impliziert v(p) = 1, d. h. v = v_{p}. Im Fall k[x] ⊈ R_{v} existiert f ∈ k[x] mit v(f) < 0. Nach 1.11(c) muß dann auch v(x) < 0 sein. Für z = \frac{r}{s} ∈ K mit r, s ∈ k[x] folgt v(z) = (grad r − grad s)v(x) mithilfe von 1.13(c). Wiederum impliziert die Surjektivität von v, daß v(x) = −1, also v = v_{∞} ist.

(d) Klar.

□

4.4 Korollar. Für alle v ∈ V (K/k) ist f_{v} < ∞.

Für spätere Zwecke wollen wir noch gleich eine Hilfsaussage festhalten.

4.5 Lemma. Sei v ∈ V (K/k) und a ∈ R_{v}. Dann ist R_{v}/(a) ein k-Vektorraum der Dimension v(a)f_{v}.

Beweis. R_{v}/(a) ist ein R_{v}-Modul, also wegen k ⊆ R_{v} auch ein k-Vektorraum. Wir wählen t ∈ R_{v} mit v(t) = 1, dann gilt R_{v}/(a) = R_{v}/(t^{v(a)}) und daher

dim_{k} R_{v}/(a) = ∑_{i=1}^{v(a)} dim_{k}(t^{i−1})/(t^{i}) = v(a) dim_{k} R_{v}/(t) = v(a)f_{v}.

□

Man ist daran interessiert, k möglichst groß zu wählen. Das führt zu dem folgenden Begriff des Konstantenkörpers.

4.6 Definition. Der algebraische Abschluß

k̃ := {a ∈ K : a ist algebraisch über k}

von k in K heißt der Konstantenkörper von K/k.

Daß man k problemlos durch k̃ ersetzen kann, ersehen wir aus der folgenden Bemerkung.

4.7 Bemerkung.

(a) K ist ein algebraischer Funktionenkörper über k̃ mit V (K/k̃) = V (K/k).

(b) k̃ ist endlich über k.

(c) Hat K/k einen rationalen Punkt, so gilt k = k̃.

Beweis. (a) Klar, daß K/k̃ algebraischer Funktionenkörper ist. Sei v ∈ V (K/k) und a ∈ K^{∗} algebraisch über k. Dann sind a und a^{−1} wegen k ⊆ R_{v} ganz über R_{v}, also in R_{v}. Es folgt a ∈ R_{v}^{∗}, d. h. v(a) = 0.

(b) Folgt aus 4.4, da k ⊆ k̃ ⊆ k_{v} für eine beliebige Bewertung v von K/k.

(c) Ist k_{v} = k, so muß k = k̃ sein.

□

Daß k̃ wirklich maximal ist mit der Eigenschaft v(k̃^{∗}) = 0 für alle v ∈ V (K/k), können wir dem folgenden Satz entnehmen.

4.8 Satz. Sei k̃ der Konstantenkörper von K/k. Es gilt:

(a) #V (K/k) = ∞.

(b) Jedes x ∈ K \ k̃ hat mindestens eine und nur endlich viele Nullstellen v ∈ V (K/k). Gleiches gilt für die Zahl der Pole von x.

Beweis. (a) Wir wählen x ∈ K, so daß K/k(x) endlich ist. Die Menge {p ∈ k[x] : p normiert, irreduzibel} ist unendlich, daher folgt die Behauptung mit 1.21(b).

(b) Für x ∈ K \k̃ ist K/k(x) algebraisch und, da K/k endlich erzeugt ist, auch endlich. Nach 4.3(c) ist v_{x} die einzige Nullstelle von x in k(x)/k, also folgt die Behauptung mit 1.21(b). Die Pole von x sind die Nullstellen von \frac{1}{x}.

□

b. Divisoren. Von nun an bis zum Ende dieses Abschnitts sei stets k der Konstantenkörper von K/k. Zur Abkürzung setzen wir V := V (K/k). Eine Verallgemeinerung des Approximationsproblems 1.19 auf unendlich viele Bewertungen führt uns zu den folgenden Begriffsbildungen.

4.9 Definition. Die freie abelsche Gruppe

D_{K} := ℤ^{(V)} := {𝔡 ∈ ℤ^{V} : 𝔡(v) = 0 für fast alle v ∈ V }

heißt die Divisorengruppe von K, ihre Elemente heißen Divisoren. Der Divisor 𝔬 mit 𝔬(v) = 0 für alle v ∈ V heißt Nulldivisor. Für 𝔡, 𝔡′ ∈ D_{K} schreiben wir 𝔡 ≥ 𝔡′, falls 𝔡(v) ≥ 𝔡′(v) für alle v ∈ V gilt. Die Elemente der kanonischen Basis (𝔭_{v})_{v∈V} von D_{K} mit 𝔭_{v}(v) = 1 und 𝔭_{v}(ṽ) = 0 für alle ṽ ≠ v heißen Primdivisoren. Für 𝔡 = ∑_{v∈V} d_{v}𝔭_{v} ∈ D_{K} setzen wir grad 𝔡 := ∑_{v∈V} d_{v}f_{v}. Den Kern des Gruppenhomomorphismus grad : D_{K} → ℤ bezeichnen wir mit D_{K,0}.

Zur Abkürzung setzen wir für den Rest dieses Abschnitts D := D_{K} und D_{0} := D_{K,0}. Sei x ∈ K^{∗}. Nach 4.8(b) ist v(x) = 0 für fast alle v ∈ V. Daher können wir zu x einen Divisor assoziieren.

4.10 Definition. Für x ∈ K^{∗} heißt

(x) := ∑_{v∈V} v(x)𝔭_{v} ∈ D

der Hauptdivisor zu x.

Die Abbildung K^{∗} → D, x ↦ (x) ist offenbar ein Gruppenhomomorphismus mit dem Kern k^{∗}. Daher ist

(K^{∗}) := {(x) : x ∈ K^{∗}}

eine Untergruppe von D und isomorph zu K^{∗}/k^{∗}. Wir werden später sehen, daß (K^{∗}) sogar eine Untergruppe von D_{0} ist.

4.11 Definition. Die K-Unteralgebra

A := A_{K} := {(x_{v})_{v∈V} ∈ K^{V} : x_{v} ∈ R_{v} für fast alle v ∈ V }

von K^{V} heißt der Adlering, seine Elemente heißen Adle von K/k. Die Diagonaleinbettung K ↪ A, x ↦ (x)_{v∈V} fassen wir als Inklusion auf. Für 𝔡 = ∑_{v∈V} d_{v}𝔭_{v} ∈ D definieren wir außerdem die k-Vektorräume

A(𝔡) := A_{K}(𝔡) := {(x_{v})_{v∈V} ∈ K^{V} : v(x_{v}) ≥ −d_{v} ∀v ∈ V } ⊆ A

und

L(𝔡) := L_{K}(𝔡) := {x ∈ K : v(x) ≥ −d_{v} ∀v ∈ V } = A(𝔡) ∩ K.

Wir wollen einige grundlegende Eigenschaften der gerade eingeführten Räume zusammenfassen.

4.12 Lemma. Seien 𝔡, 𝔡′ ∈ D mit 𝔡 ≥ 𝔡′. Es gilt:

(a) L(𝔡) = {x ∈ K^{∗} : (x) ≥ −𝔡} ∪ {0}.

(b) L(𝔬) = k, und L(𝔡) = 0, falls 𝔡 ≤ 𝔬, 𝔡 ≠ 𝔬.

(c) Für x ∈ K^{∗} ist L(𝔡 + (x)) ≃ L(𝔡).

(d) A(𝔡) ⊇ A(𝔡′) und L(𝔡) ⊇ L(𝔡′).

(e) Die Sequenz der kanonischen k-Vektorraumhomomorphismen

0 → L(𝔡)/L(𝔡′) → A(𝔡)/A(𝔡′) → (A(𝔡) + K)/(A(𝔡′) + K) → 0

ist exakt.

(f) dim_{k} A(𝔡)/A(𝔡′) = grad 𝔡 − grad 𝔡′.

Beweis. (a) Nach Definition.

(b) Folgt aus 4.8(b).

(c) Die Abbildung L(𝔡 + (x)) → L(𝔡), y ↦ xy ist offenbar ein k-Vektorraumisomorphismus.

(d) Nach Definition.

(e) Ist eine leichte Übung in linearer Algebra.

(f) Wir schreiben 𝔡 = ∑_{v∈V} d_{v}𝔭_{v} und 𝔡′ = ∑_{v∈V} d′_{v}𝔭_{v} und wählen zu jedem v ∈ V ein t_{v} ∈ K mit v(t_{v}) = 1, dann gilt

A(𝔡)/A(𝔡′) = (∏_{v∈V} R_{v}t_{v}^{−d_{v}}) / (∏_{v∈V} R_{v}t_{v}^{−d′_{v}}) ≃ ∏_{v∈V} R_{v}/R_{v}t_{v}^{d_{v}−d′_{v}},

also folgt die Behauptung mit 4.5.

□

4.13 Definition. Wir zerlegen 𝔡 = ∑_{v∈V} d_{v}𝔭_{v} ∈ D in 𝔡_{+} := ∑_{d_{v}≥0} d_{v}𝔭_{v} und 𝔡_{−} := − ∑_{d_{v}≤0} d_{v}𝔭_{v}. (Also 𝔡 = 𝔡_{+} − 𝔡_{−}.) Für x ∈ K^{∗} heißt (x)_{+} der Nullstellendivisor und (x)_{−} der Polstellendivisor zu x.

4.14 Korollar und Definition. Sei 𝔡 ∈ D. L(𝔡) ist ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum. Wir schreiben fortan kurz dim 𝔡 statt dim_{k} L(𝔡).

Beweis. Es gilt 𝔡 ≥ −𝔡_{−} und −𝔡_{−} ≤ 𝔬. Nach 4.12(b), (e) und (f) haben wir daher

dim_{k} L(𝔡) = dim_{k} L(𝔡)/L(−𝔡_{−}) + dim_{k} L(−𝔡_{−})
≤ grad 𝔡 − grad 𝔡_{−} + 1
= grad 𝔡_{+} + 1.
□

c. Klassengruppe. In Analogie zur Produktformel oder Geschlossenheitsrelation (vgl. [Nk, p. 195]) aus der algebraischen Zahlentheorie haben wir für algebraische Funktionenkörper die folgende Aussage:

4.15 Satz. Für x ∈ K \ k ist

grad (x)_{+} = grad (x)_{−} = [K : k(x)].

Insbesondere ist also (K^{∗}) ⊆ D_{0} und wir können definieren:

4.16 Definition. Die Faktorgruppe D_{0}/(K^{∗}) heißt die (Divisoren)klassengruppe von K und wird mit Cℓ_{0}(K) bezeichnet. Ihre Ordnung h_{0} := h_{0}(K) := #Cℓ_{0}(K) heißt die (Divisoren)klassenzahl von K.

Die Klassengruppe ist von zentraler Bedeutung. Wir werden in Abschnitt 6 sehen, daß für endliches k auch h_{0} endlich ist.

Beweis von 4.15. Wegen (x)_{+} = (\frac{1}{x})_{−} und k(x) = k(\frac{1}{x}) genügt es,

grad (x)_{−} = [K : k(x)]

zu zeigen. Im Beweis von 4.8(b) haben wir schon gesehen, daß n := [K : k(x)] < ∞ ist. Sei v_{∞} die Gradbewertung von k(x) und S ⊆ V die Menge ihrer Fortsetzungen nach K. Nach 4.3 und 1.21(c) gilt

grad (x)_{−} = − ∑_{v∈S} v(x)f_{v} = ∑_{v∈S} e_{v/v_{∞}}f_{v/v_{∞}} ≤ [K : k(x)].

Zum Beweis der umgekehrten Ungleichung wähle man eine Basis (y_{1}, …, y_{n}) von K über k(x). Sei F_{i} = ∑ r_{ij}Y^{j} mit r_{ij} ∈ k(x) das Minimalpolynom von y_{i} über k(x). Nach Multiplikation von y_{i} mit dem Hauptnenner der r_{ij} kann angenommen werden, daß F_{i} ∈ k[x][Y], also v(y_{i}) ≥ 0 für alle v ∈ V \ S ist. Nach 4.8(b) ist dann

c := − min{v(y_{i}) : v ∈ S, 1 ≤ i ≤ n} ≥ 0.

Für d ≥ c gilt offenbar

x^{j}y_{i} ∈ L(d(x)_{−}) ∀j ∈ {0, …, d − c} ∀i ∈ {1, …, n}.

Man überlegt sich leicht, daß diese (d − c + 1)n Funktionen sogar linear unabhängig über k sind, daher folgt

dim d(x)_{−} ≥ (d − c + 1)n ∀d ≥ c.

Nach 4.12(e) und (f) haben wir für d ∈ ℕ außerdem

dim d(x)_{−} − dim(x)_{−} ≤ grad d(x)_{−} − grad (x)_{−} = (d − 1)grad (x)_{−},

also folgt

grad (x)_{−} ≥ \frac{d − c + 1}{d − 1}n − \frac{dim(x)_{−}}{d − 1} ∀d > c,

woraus wir grad (x)_{−} ≥ n schließen können. □

Nach 4.12(c) und dem vorhergehenden Satz sind für eine Nebenklasse 𝔇 ∈ D/(K^{∗}) von (K^{∗}) in D die Zahlen dim 𝔡 und grad 𝔡 von der Wahl des Repräsentanten 𝔡 ∈ 𝔇 unabhängig.

4.17 Definition. Sei 𝔇 ∈ D/(K^{∗}). Wir setzen dim 𝔇 := dim 𝔡 und grad 𝔇 := grad 𝔡 für 𝔡 ∈ 𝔇 beliebig. d. Geschlecht. Nach dem Beweis von 4.15 existiert zu jedem x ∈ K \ k ein c ≥ 0, so daß

grad d(x)_{−} − dim d(x)_{−} ≤ (c − 1)[K : k(x)] ∀d ≥ c. (∗)

Dies veranlaßt uns zu der folgenden Definition.

4.18 Definition. Die Zahl

g := g_{K} := max{grad 𝔡 − dim 𝔡 + 1 : 𝔡 ∈ D}

heißt das Geschlecht von K.

4.19 Satz. Es gilt

(a) 0 ≤ g < ∞ und

(b) dim 𝔡 ≥ grad 𝔡 + 1 − g für alle 𝔡 ∈ D (Riemannsche Ungleichung).

Beweis. (a) Wegen grad 𝔬 − dim 𝔬 + 1 = 0 − 1 + 1 = 0 ist g ≥ 0. Bleibt g < ∞ zu beweisen. Wir wählen x ∈ K \ k. Nach (∗) genügt es, zu zeigen, daß für einen beliebigen Divisor 𝔡 = ∑_{v} d_{v}𝔭_{v} ∈ D ein d ≥ 0 existiert mit

grad 𝔡 − dim 𝔡 ≤ grad d(x)_{−} − dim d(x)_{−}.

Für normiertes, irreduzibles p ∈ k[x] setzen wir m_{p} := max{d_{v} : v ∈ V, v/v_{p}} und definieren

y := ∏_{m_{p}≥0} p^{m_{p}} ∈ k[x],

dann ist (y) ≥ 𝔡 − d(x)_{−} für ein genügend großes d ∈ ℕ_{0}. Mit 4.12 und 4.15 folgt

grad 𝔡 − dim 𝔡 ≤ grad (d(x)_{−} + (y)) − dim(d(x)_{−} + (y)) = grad d(x)_{−} − dim d(x)_{−}.

(b) Folgt sofort aus der Definition von g.

□

4.20 Korollar.

(a) Für K = k(x) ist g = 0.

(b) Ist g = 0, so ist h_{0} = 1.

Beweis. (a) Nach dem vorigen Beweis ist

g = max{grad d(x)_{−} − dim d(x)_{−} + 1 : d ≥ 0}.

Wegen 4.3 haben wir für d ≥ 0, daß grad d(x)_{−} = d ist und L(d(x)_{−}) = {z ∈ k[x] : grad z ≤ d} Dimension d + 1 über k hat.

(b) Sei g = 0 und 𝔡 ∈ D_{0}. Dann gilt dim 𝔡 ≥ 0 + 1 − 0 = 1 nach 4.19(b), also können wir y ∈ K^{∗} wählen mit 𝔡 + (y) ≥ 𝔬. Da andererseits grad (𝔡 + (y)) = 0 ist, folgt 𝔡 = (\frac{1}{y}) ∈ (K^{∗}).

□

In die Riemannsche Ungleichung läßt sich ein Korrekturterm einfügen. Wir erhalten den wichtigen 4.21 Satz von Riemann-Roch. Sei 𝔡 ∈ D. Dann ist

dim 𝔡 = grad 𝔡 + 1 − g + dim_{k} A/(A(𝔡) + K).

Beweis. Nach Definition des Geschlechts existiert ein Divisor 𝔡_{0} ∈ D mit g = grad 𝔡_{0} − dim 𝔡_{0} + 1. Für jedes 𝔞 ∈ D mit 𝔞 ≥ 𝔡_{0} folgt mithilfe von 4.12, daß

dim_{k}(A(𝔞) + K)/(A(𝔡_{0}) + K) = grad 𝔞 − dim 𝔞 − (grad 𝔡_{0} − dim 𝔡_{0})
≤ g − 1 − (g − 1)
= 0,

also A(𝔞) + K = A(𝔡_{0}) + K und grad 𝔞 − dim 𝔞 = g − 1. Daher gilt

A = ⋃_{𝔞∈D} A(𝔞) = ⋃_{{𝔞∈D \atop 𝔞≥𝔡_{0}}} A(𝔞) = A(𝔡_{0}) + K.

Wählen wir nun 𝔡_{1} ∈ D mit 𝔡_{1} ≥ 𝔡 und 𝔡_{1} ≥ 𝔡_{0}, so ist

dim_{k} A/(A(𝔡) + K) = grad 𝔡_{1} − dim 𝔡_{1} − (grad 𝔡 − dim 𝔡) = g − 1 − grad 𝔡 + dim 𝔡.

□

e. Differentiale. Statt der Räume A/(A(𝔡) + K) betrachten wir lieber ihre Dualräume.

4.22 Definition. Für 𝔡 ∈ D definieren wir den k-Vektorraum

Ω(𝔡) := Ω_{K}(𝔡) := {ω ∈ Hom_{k}(A, k) : ω(A(𝔡) + K) = 0}.

Desweiteren setzen wir

Ω := Ω_{K} := ⋃_{𝔡∈D} Ω(𝔡).

Die Elemente von Ω heißen (Weil-)Differentiale.

Offenbar gilt Ω(𝔡) ≃ Hom_{k}(A/(A(𝔡) + K), k) ≃ A/(A(𝔡) + K) als k-Vektorräume. Daher können wir den Satz von Riemann-Roch umformulieren in

dim 𝔡 = grad 𝔡 + 1 − g + dim_{k} Ω(𝔡).

Insbesondere gilt g = dim_{k} Ω(𝔬).

4.23 Bemerkung. Ω ist ein K-Untervektorraum von Hom_{k}(A, k) bezüglich der Skalarmultiplikation

(yω)(α) := ω(yα)

für y ∈ K, ω ∈ Hom_{k}(A, k) und α ∈ A. Für 𝔞, 𝔟 ∈ D gilt

L(𝔞)Ω(𝔟) ⊆ Ω(𝔟 − 𝔞).

Beweis. Klar, daß Hom_{k}(A, k) wie angegeben ein K-Vektorraum wird. Die Abgeschlossenheit der Addition in Ω rechnet man ebenfalls leicht nach. Zum Nachweis der Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation schreiben wir 𝔞 = ∑_{v} a_{v}𝔭_{v} und 𝔟 = ∑_{v} b_{v}𝔭_{v}. Sei y ∈ L(𝔞) und ω ∈ Ω(𝔟). Für α = (x_{v})_{v} ∈ A(𝔟 − 𝔞) gilt dann v(x_{v}y) ≥ a_{v} − b_{v} + v(y) ≥ −b_{v} für alle v ∈ V, also yα ∈ A(𝔟), d. h. (yω)(α) = 0. Da trivialerweise (yω)(K) = 0 ist, folgt yω ∈ Ω(𝔟 − 𝔞). □

Ist grad 𝔡 genügend groß, so tritt in der Riemannschen Ungleichung das Gleichheitszeichen ein:

4.24 Lemma. Sei 𝔡 ∈ D. Ist grad 𝔡 > 2g − 2, so gilt Ω(𝔡) = 0.

Beweis. Angenommen, Ω(𝔡) ≠ 0. Dann können wir ω ∈ Ω(𝔡) mit ω ≠ 0 wählen und nach der vorigen Bemerkung einen injektiven k-Vektorraumhomomorphismus

L(𝔡) ↪ Ω(𝔬)
y ↦ yω

definieren. Es folgt dim 𝔡 ≤ dim_{k} Ω(𝔬) = g, also nach dem Satz von Riemann-Roch:

grad 𝔡 = dim 𝔡 − 1 + g − dim_{k} Ω(𝔡) ≤ g − 1 + g − 1 = 2g − 2.
□

4.25 Satz. dim_{K} Ω = 1.

Beweis. Es ist Ω ≠ 0, denn für 𝔡 ∈ D mit grad 𝔡 ≤ −2 hat Ω(𝔡) nach dem Satz von Riemann-Roch k-Dimension dim 𝔡 − 1 + g − grad 𝔡 ≥ 1. Angenommen, ω_{1}, ω_{2} ∈ Ω sind linear unabhängig über K. Wir wählen 𝔡_{0}, 𝔡 ∈ D, so daß ω_{1}, ω_{2} ∈ Ω(𝔡_{0}), 𝔡 ≥ 𝔡_{0}, 𝔡 ≠ 𝔡_{0} und

grad 𝔡 + grad 𝔡_{0} > 3g − 3. (∗)

Sei y_{1}, …, y_{m} eine k-Basis von L(𝔡), dann sind y_{1}ω_{1}, …, y_{m}ω_{1}, y_{1}ω_{2}, …, y_{m}ω_{2} ∈ Ω(𝔡_{0} − 𝔡) linear unabhängig über k, also gilt

2 dim 𝔡 ≤ dim_{k} Ω(𝔡_{0} − 𝔡).

Mithilfe von 4.19(b) und dem Satz von Riemann-Roch folgt

2(grad 𝔡 + 1 − g) ≤ 2 dim 𝔡 ≤ dim(𝔡_{0} − 𝔡) − 1 + g − grad (𝔡_{0} − 𝔡),

nach 4.12(b) also grad 𝔡 + grad 𝔡_{0} ≤ 3g − 3 im Widerspruch zu (∗). □

4.26 Lemma und Definition. Sei 0 ≠ ω ∈ Ω.

(a) Es existiert genau ein Divisor 𝔠 ∈ D, so daß für alle 𝔡 ∈ D gilt:

ω ∈ Ω(𝔡) ⟺ 𝔡 ≤ 𝔠.

(ω) := 𝔠 heißt der (kanonische) Divisor zu ω.

(b) Für y ∈ K^{∗} ist (yω) = (y) + (ω).

Beweis. (a) Nach 4.24 existiert ein Divisor 𝔠 = ∑_{v} c_{v}𝔭_{v} ∈ D von maximalem Grad mit ω ∈ Ω(𝔠). Für 𝔡 = ∑_{v} d_{v}𝔭_{v} ∈ D setzen wir 𝔡′ := ∑_{v} d′_{v}𝔭_{v} mit d′_{v} := max{c_{v}, d_{v}}. Damit haben wir 𝔠, 𝔡 ≤ 𝔡′ und somit A(𝔠), A(𝔡) ⊆ A(𝔡′). Man überlegt sich leicht, daß sogar A(𝔡′) = A(𝔠) + A(𝔡) gilt. Daher haben wir

ω ∈ Ω(𝔡) ⟺ ω ∈ Ω(𝔡′) ⟺ 𝔡′ = 𝔠 ⟺ 𝔡 ≤ 𝔠.

Die Eindeutigkeit von 𝔠 ist klar.

(b) Nach 4.23 haben wir yω ∈ Ω((ω) + (y)), also (y) + (ω) ≤ (yω). Ebenso (yω) − (y) = (yω) + (\frac{1}{y}) ≤ (ω).

□

Aus 4.25 und 4.26 folgt, daß {(ω) : 0 ≠ ω ∈ Ω} eine Nebenklasse von (K^{∗}) in D ist.

4.27 Definition. ℭ := ℭ_{K} := {(ω) : 0 ≠ ω ∈ Ω} heißt die kanonische Klasse (von K).

Wir können jetzt den Satz von Riemann-Roch in eine neue Fassung bringen und daraus die Zahlen dim ℭ und grad ℭ berechnen.

4.28 Bemerkung. Sei 𝔠 ∈ ℭ.

(a) Für alle 𝔡 ∈ D gilt

dim 𝔡 = grad 𝔡 + 1 − g + dim(𝔠 − 𝔡).

(b) dim 𝔠 = g.

(c) grad 𝔠 = 2g − 2.

Beweis. (a) Sei 0 ≠ ω ∈ Ω mit 𝔠 = (ω). Für y ∈ K^{∗} gilt

yω ∈ Ω(𝔡) ⟺ 𝔡 ≤ (yω) = (y) + (ω) ⟺ y ∈ L((ω) − 𝔡).

Daher haben wir einen k-Vektorraumisomorphismus

L(𝔠 − 𝔡) ≃ Ω(𝔡)
y ↦ yω.

(b) Folgt aus (a) für 𝔡 = 𝔬.

(c) Folgt aus (a) und (b) mit 𝔡 = 𝔠.

□

f. Konstantenkörpererweiterung. Wir wollen Erweiterungen von K/k betrachten, die allein durch Vergrößern des Konstantenkörpers zustandekommen. Für diese ändert sich, wie wir in 4.32 sehen werden, das Geschlecht nicht.

4.29 Definition. Ein algebraischer Funktionenkörper K′/k′ mit k ⊆ k′ und K ⊆ K′ heißt Konstantenkörpererweiterung von K/k, falls k′/k endlich und K′ = Kk′ ist.

4.30 Lemma. Sei k′ = k(α) eine einfache, endliche Erweiterung von k. Dann gilt:

(a) Das Minimalpolynom von α über k ist auch irreduzibel über K.

(b) Es gibt einen bis auf Isomorphie eindeutig bestimmten Körper K′, so daß K′/k′ eine Konstantenkörpererweiterung von K/k ist.

Beweis. Sei X transzendent über K und f ∈ k[X] das Minimalpolynom von α über k.

(a) Angenommen, es ist f = gh mit normierten Polynomen g, h ∈ K[X]. Dann sind die Koeffizienten von g und h als elementarsymmetrische Funktionen in den Nullstellen von f algebraisch über k. Da k algebraisch abgeschlossen ist in K, folgt g, h ∈ k[X] und damit g = 1 oder h = 1.

(b) Wir identifizieren k′ mit k[X]/(f) und setzen K′ := K[X]/(f), wobei wir die kanonischen Einbettungen k′ ↪ K′ und K ↪ K′ als Inklusionen auffassen. Dann ist K′ = Kk′ und [K′ : K] = [k′ : k] < ∞ nach (a), also K′/k′ Konstantenkörpererweiterung von K/k. Ist K′ irgendein Körper mit K′ = Kk′, so ist K′ = K(α) ≃ K[X]/(f) nach (a).

□

Bei der obigen Konstruktion ist nicht gewährleistet, daß k′ auch wieder der Konstantenkörper von K′/k′ ist. Dafür brauchen wir in der Tat mehr Voraussetzungen. Im folgenden sei k stets vollkommen und k′/k endlich. Wir können dann k′ = k(α) schreiben und haben nach dem vorigen Lemma eine eindeutige Konstantenkörpererweiterung K′/k′ von K/k.

4.31 Lemma. K′/K ist eine endliche, separable Erweiterung vom Grad [K′ : K] = [k′ : k], und k′ ist der Konstantenkörper von K′/k′.

Beweis. Es ist K′ = K(α), also K′/K separabel und [K′ : K] = [k′ : k] nach dem vorigen Lemma. Sei β ∈ K′ algebraisch über k′. Dann ist k′′ := k′(β) endlich und separabel über k, etwa k′′ = k(α′), und K′ = Kk′′ = K(α′). Wiederum mit dem vorigen Lemma folgt [K′ : K] = [k′′ : k], also ist k′′ = k′ und β ∈ k′. □

Wir wollen nun die wesentlichen Eigenschaften von Konstantenkörpererweiterungen in einem abschließenden Satz zusammenfassen. Zur Abkürzung führen wir die Bezeichnungen V′ := V (K′/k′) = V (K′/k) für die abstrakte Kurve, D′ := D_{K′} für die Divisorengruppe und g′ := g_{K′} für das Geschlecht von K′ ein. Zu 𝔡 = ∑_{v∈V} d_{v}𝔭_{v} ∈ D definieren wir 𝔡′ := ∑_{v∈V} d_{v} ∑_{v′/v} e_{v′/v}𝔭_{v′} ∈ D′.

4.32 Satz.

(a) Für v ∈ V und v′ ∈ V′ mit v′/v gilt e_{v′/v} = 1 und k_{v′} = k_{v}k′.

(b) Für 𝔡 ∈ D gilt grad 𝔡′ = grad 𝔡 und

(c) dim 𝔡′ = dim 𝔡.

(d) g′ = g.

Beweis. Sei n := [k′ : k].

(a) Sei B_{v} der ganze Abschluß von R_{v} in K′. Wegen D_{K′/K}(α) = D_{k′/k}(α) ∈ k^{∗} ⊆ R_{v}^{∗} ist B_{v} = R_{v}[α] und v unverzweigt in K′/K nach 1.26. Der Fortsetzung v′ von v entspricht ein maximales Ideal Q_{v′} von B_{v} gemäß 1.23(a), so daß

k_{v′} ≃ B_{v}/Q_{v′} ≃ k_{v}[α] = k_{v}k′.

(b) Es genügt offenbar, die Behauptung für einen Primdivisor 𝔡 = 𝔭_{v} mit v ∈ V zu zeigen. Mithilfe von 1.23(b) und 4.31 erhalten wir

grad 𝔭′_{v} = ∑_{v′/v}[k_{v′} : k′] = \frac{[k_{v} : k]}{[k′ : k]} ∑_{v′/v} f_{v′/v} = [k_{v} : k] = grad 𝔭_{v}.

(c) Sei f das Minimalpolynom von α über k, k′′ ein Zerfällungskörper von f über k, der k′ enthält, und K′′ := Kk′′, dann ist K′′/k′′ Konstantenkörpererweiterung von K/k und K′′/K galoissch (normale Hülle von K′/K). Wir wählen σ_{1}, …, σ_{n} ∈ Aut(K′′/K) so, daß α_{1} := σ_{1}(α), …, α_{n} := σ_{n}(α) ∈ k′′ die Nullstellen von f sind. Desweiteren setzen wir 𝔡′′ := ∑_{v∈V} d_{v} ∑_{v′′/v} 𝔭_{v′′} ∈ D′′ := D_{K′′} analog zu den Bezeichnungen von oben, dann haben wir offenbar

L(𝔡) = L(𝔡′) ∩ K = L(𝔡′′) ∩ K.

Sei nun (y_{1}, …, y_{m}) eine k-Basis von L(𝔡). Wir wollen zeigen, daß diese auch eine k′-Basis von L(𝔡′) ist. Es ist leicht zu überprüfen, daß y_{1}, …, y_{m} linear unabhängig über k′ sind. Bleibt also

L(𝔡′) ⊆ k′y_{1} + ⋯ + k′y_{m}

zu zeigen. Sei z ∈ L(𝔡′) ⊆ L(𝔡′′), z = ∑_{j=0}^{n−1} z_{j}α^{j} mit z_{j} ∈ K. Nach 2.1(b) ist dann auch σ_{i}(z) = ∑_{j=0}^{n−1} z_{j}α_{i}^{j} ∈ L(𝔡′′) für 1 ≤ i ≤ n. Mithilfe der Cramerschen Regel folgt für 1 ≤ l ≤ n:

z_{l} = (det(α_{i}^{j})_{i,j})^{−1} det ( \begin{matrix}1 & ⋯ & α_{1}^{l−1} & σ_{1}(z) & α_{1}^{l+1} & ⋯ & α_{1}^{n} \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ 1 & ⋯ & α_{n}^{l−1} & σ_{n}(z) & α_{n}^{l+1} & ⋯ & α_{n}^{n} \end{matrix} )

∈ K ∩ ∑_{i=1}^{n} k′′σ_{i}(z) ⊆ L(𝔡).

Wir können daher z_{j} = ∑_{i=1}^{m} γ_{ij}y_{i} schreiben mit γ_{ij} ∈ k für 1 ≤ i ≤ m und 0 ≤ j < n und erhalten

z = ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=0}^{n−1} γ_{ij}α^{j}y_{i} ∈ k′y_{1} + ⋯ + k′y_{m}.

(d) Wählen wir 𝔡 ∈ D mit grad 𝔡 > 2g − 2, 2g′ − 2, so folgt nach (b), (c), 4.24 und dem Satz von Riemann-Roch

g = grad 𝔡 − dim 𝔡 + 1 = grad 𝔡′ − dim 𝔡′ + 1 = g′.
□

5 Die Geschlechtsformel von Riemann-Hurwitz

Haben wir zum Schluß des letzten Abschnitts Erweiterungen algebraischer Funktionenkörper betrachtet, die allein auf einer Vergrößerung des Konstantenkörpers beruhten, so wollen wir jetzt den gerade entgegengesetzten Fall untersuchen. Es seien K und L algebraische Funktionenkörper über k, so daß L/K eine endliche, separable Erweiterung vom Grad n ∈ ℕ und k der Konstantenkörper von L/k (damit auch von K/k) ist. Unser Ziel ist es, eine Formel anzugeben, mit der sich das Geschlecht von L aus dem Geschlecht von K berechnen läßt. Wir setzen zur Abkürzung V := V (K/k) und bezeichnen für v ∈ V mit B_{v} den ganzen Abschluß des Bewertungsrings R_{v} in L. Bevor wir unsere Geschlechtsformel hinschreiben, führen wir noch einige Begriffe ein.

5.1 Bemerkung und Definition.

(a) Sei v ∈ V. B_{v} und sein Komplementärmodul B_{v}^{#} := {y ∈ L : S_{L/K}(xy) ∈ R_{v} ∀x ∈ B_{v}} (bezüglich der Spur) sind freie R_{v}-Moduln vom Rang n. Für Basen (x_{1}, …, x_{n}) bzw. (y_{1}, …, y_{n}) von B_{v} bzw. B_{v}^{#} hängt die Zahl

d_{L,v} := v(D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n})) = −v(D_{L/K}(y_{1}, …, y_{n})) ∈ ℕ_{0}

allein von L und v ab. Ferner gilt D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n})B_{v}^{#} ⊆ B_{v} ⊆ B_{v}^{#}.

(b) Für fast alle v ∈ V ist d_{L,v} = 0.

Beweis. (a) Nach 1.5(d) gibt es eine R_{v}-Basis (x_{1}, …, x_{n}) von B_{v}, die zugleich eine K-Basis von L ist, und nach 1.5(b) und (c) hängt die Zahl d_{L,v} := v(D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n})) ∈ ℕ_{0} nicht von der speziellen Wahl dieser Basis ab. Wegen 1.3(c) und 1.4(c) ist die Abbildung

L × L → K
(x, y) ↦ S_{L/K}(xy)

eine nicht-singuläre, symmetrische Bilinearform. Bezüglich ihr existiert eine Komplementärbasis, d. h. eine K-Basis (x′_{1}, …, x′_{n}) von L mit

S_{L/K}(x_{i}x′_{j}) = δ_{ij} ∀i, j.

Für beliebiges y = ∑ a_{j}x′_{j} ∈ L gilt offenbar

y ∈ B_{v}^{#} ⟺ ∀i : a_{i} = S_{L/K}(x_{i}y) ∈ R_{v},

also ist (x′_{1}, …, x′_{n}) eine R_{v}-Basis von B_{v}^{#}. Wegen 1.4(e) ist B_{v} ⊆ B_{v}^{#}. Daher existieren a_{ij} ∈ R_{v} mit

x_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x′_{j}.

Es ergibt sich a_{ij} = S_{L/K}(x_{i}x_{j}), also D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n}) = det(a_{ij})_{i,j} nach 1.3(c). Sei (a′_{ij})_{i,j} := (a_{ij})_{i,j}^{−1} ∈ K^{n×n} die inverse Matrix. Wegen

x′_{i} = ∑_{j=1}^{n} a′_{ij}x_{j}

ergibt sich analog D_{L/K}(x′_{1}, …, x′_{n}) = det(a′_{ij})_{i,j}, also gilt v(D_{L/K}(y_{1}, …, y_{n})) = −d_{L,v} für jede beliebige R_{v}-Basis y_{1}, …, y_{n} von B_{v}^{#} nach 1.5(b). Ferner gilt nach der Cramerschen Regel a′_{ij}D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n}) ∈ R_{v} für alle i, j, also haben wir D_{L/K}(x_{1}, …, x_{n})x′_{i} ∈ B_{v} für 1 ≤ i ≤ n, woraus die letzte Behauptung folgt.

(b) Wir schreiben L = K(y). Sei f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}X^{i} das Minimalpolynom von y über K. Nach 4.8(b) gilt für fast alle v ∈ V, daß a_{0}, …, a_{n} ∈ R_{v} und D_{L/K}(y) ∈ R_{v}^{∗}, d. h. nach 1.26, daß d_{L,v} = v(D_{L/K}(y)) = 0 ist.

□

Wir können nun die zentrale Aussage dieses Abschnitts formulieren.

5.2 Satz von Riemann-Hurwitz. Für die Geschlechter g_{K} und g_{L} von K bzw. L gilt die Beziehung

2g_{L} − 2 = (2g_{K} − 2)n + ∑_{v∈V} d_{L,v}f_{v}.

Für den Beweis sind einige Vorbereitungen erforderlich.

5.3 Lemma. Sei R ein Bewertungsring. Sind M und N freie R-Moduln vom Rang m ∈ ℕ mit M ⊆ N, so existiert eine R-Basis (z_{1}, …, z_{m}) von N und a_{1}, …, a_{m} ∈ R, so daß (a_{1}z_{1}, …, a_{m}z_{m}) eine R-Basis von M ist.

Beweis. Sei v die zu R korrespondierende Bewertung auf dem Quotientenkörper von R gemäß 1.16. Seien (x_{1}, …, x_{m}) und (y_{1}, …, y_{m}) beliebige R-Basen von M bzw. N. Wegen M ⊆ N existiert eine Matrix A = (a_{ij})_{i,j} ∈ R^{m×m} mit

( x_{1} ; ⋮ ; x_{m} ) = A ( y_{1} ; ⋮ ; y_{m} ) .

Nach eventueller Umordnung der Basen können wir dabei v(a_{11}) = min{v(a_{ij}) : 1 ≤ i, j ≤ m\}, d. h. \frac{a_{ij}}{a_{11}} ∈ R für alle i, j annehmen. Setzen wir z_{1} := y_{1}+∑_{j=2}^{m} \frac{a_{1j}}{a_{11}} y_{j} und x′_{i} := x_{i}− \frac{a_{i1}}{a_{11}} x_{1} für 2 ≤ i ≤ m, so sind (x_{1}, x′_{2}, …, x′_{m}) und (z_{1}, y_{2}, …, y_{m}) weiterhin R-Basen von M bzw. N und

( x_{1} ; x′_{2} ; ⋮ ; x′_{m} ) = ( \begin{matrix}a_{11} & 0 ⋯ 0 \\ 0 \\ ⋮ & A′ \\ 0 \end{matrix} ) ( z_{1} ; y_{2} ; ⋮ ; y_{m} )

mit A′ = (a_{ij} − \frac{a_{1j}}{a_{11}} )_{2≤i,j≤m}. Die Fortsetzung dieses Verfahrens liefert die Behauptung. □

5.4 Satz. Sei v ∈ V.

(a) Es gibt einen eindeutig bestimmten Divisor 𝔡_{L,v} ≥ 𝔬 von L der Form 𝔡_{L,v} = ∑_{w/v} d_{w/v}𝔭_{w}, so daß

B_{v}^{#} = {y ∈ L : w(y) ≥ −d_{w/v} ∀w/v}.

(b) Für alle w/v gilt d_{w/v} ≥ e_{w/v} − 1.

(c) Ist w/v zahm verzweigt, so gilt sogar d_{w/v} = e_{w/v} − 1.

(d) grad 𝔡_{L,v} = d_{L,v}f_{v}.

Beweis. Wir setzen zur Abkürzung d_{v} := d_{L,v} und e_{w} := e_{w/v} und wählen t_{v} ∈ R_{v} mit v(t_{v}) = 1. Nach 1.23 ist B_{v} ein Dedekindring mit den maximalen Idealen Q_{w} := B_{v} ∩ P_{w}, w/v, also

t_{v}B_{v} = ∏_{w/v} Q_{w}^{e_{w}}.

(a) Nach 5.1(a) ist t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#} ein Ideal von B_{v}. Wir können daher

t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#} = ∏_{w/v} Q_{w}^{c_{w}} (1)

mit c_{w} ∈ ℕ_{0} schreiben. Damit gilt für y ∈ L nach 1.8(c)

y ∈ B_{v}^{#} ⟺ t_{v}^{d_{v}}y ∈ ∏_{w/v} Q_{w}^{c_{w}} ⟺ ∀w/v : d_{v}e_{w} + w(y) ≥ c_{w}. (2)

Also ist 𝔡_{L,v} := ∑_{w/v} d_{w/v}𝔭_{w} mit d_{w/v} := d_{v}e_{w} − c_{w} der gesuchte Divisor. Wegen t_{v}^{d_{v}}B_{v} ⊆ t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#} ist d_{v}e_{w} ≥ c_{w} für alle w/v, also 𝔡_{L,v} ≥ 𝔬. Die Eindeutigkeit von 𝔡_{L,v} folgt aus (2) und 1.8(a). Zur Abkürzung setzen wir für den Rest des Beweises d_{w} := d_{w/v}.

(b) Sei L′ normale Hülle von L/K, G′ := Aut(L′/K) und H := {σ′|_{L} : σ′ ∈ G′} die Menge der K-Homomorphismen von L nach L′. Es genügt, für I := ∏_{w/v} Q_{w} zu zeigen, daß t_{v}^{d_{v}−1}I ⊆ t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#} ist. Mit (1) und 1.8(c) folgt dann nämlich (d_{v} − 1)e_{w} + 1 ≥ c_{w}, d. h. d_{w} = d_{v}e_{w} − c_{w} ≥ e_{w} − 1. Sei also α ∈ I und x ∈ B_{v}. Dann gilt w′(αx) > 0 für alle Bewertungen w′ von L′ mit w′/v. Nach 2.1(b) folgt

w′(S_{L/K}(αx)) ≥ min{w′(σ(αx)) : σ ∈ H} > 0 ∀w′/v,

daher S_{L/K}(t_{v}^{−1}αx) = t_{v}^{−1}S_{L/K}(αx) ∈ R_{v}. Somit ist t_{v}^{−1}I ⊆ B_{v}^{#}, d. h. t_{v}^{d_{v}−1}I ⊆ t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#} gezeigt.

(c) Für unsere späteren Zwecke benötigen wir diese Aussage nur im Fall, daß L/K galoissch ist. Es soll daher reichen, sie hier für diesen Fall zu zeigen. Einen allgemeinen Beweis, der allerdings nicht ohne Komplettierungsmethoden auskommt, findet der/die LeserIn in [Cv, p. 69f]. Sei G := Aut(L/K) und w/v zahm verzweigt. Für I_{w} := ∏_{{w̃/v \atop w̃≠w}} Qw̃ gilt nach 1.8(c) und Teil

(b) dieses Beweises

d_{w} ≥ e_{w} ⟺ (d_{v} − 1)e_{w} ≥ c_{w} ⟺ t_{v}^{d_{v}−1}I_{w} ⊆ t_{v}^{d_{v}}B_{v}^{#}.

Es genügt also zu zeigen, daß ein α ∈ I_{w} existiert mit t_{v}^{−1}α ∉ B_{v}^{#}. Wir identifizieren wie üblich k_{w} mit B_{v}/Q_{w} und bezeichnen mit die Restklassenabbildung B_{v} → k_{w} bzw. R_{v} → k_{v}. Nach Voraussetzung und 2.1(a) ist k_{w}/k_{v} galoissch, und nach dem Lemma von Dedekind existiert ein x ∈ B_{v} mit S_{k_{w}/k_{v}}(\overline{x}) ≠ 0. Wie in 2.2 sei \overline{G}_{w} := Aut(k_{w}/k_{v}), G_{w}^{−} die Zerlegungs- und G_{w}^{+} die Trägheitsgruppe von w/v, weiter w^{−} die Bewertung des Zerlegungskörpers L_{w}^{−} := Fix(L, G_{w}^{−}) mit w/w^{−}. Nach 2.2(c) ist dann #G_{w}^{+} = [L : L_{w}^{−}]/[k_{w} : k_{v}] = e_{w/w^{−}} ein Teiler von e_{w}, also gilt nach Voraussetzung

0 ≠ e_{w/w^{−}}S_{k_{w}/k_{v}}(\overline{x}) = #G_{w}^{+} ∑_{ψ∈\overline{G}_{w}} ψ(\overline{x}) = ∑_{σ∈G_{w}^{−}} \overline{σ(x)}. (3)

Nach 1.19 existiert ein α ∈ L mit

w(α − 1) > 0 und
w̃(α) > 0 ∀w̃/v, w̃ ≠ w.

Damit ist offenbar α ∈ I_{w}. Angenommen, daß t_{v}^{−1}α ∈ B_{v}^{#} ist, dann gilt S_{L/K}(t_{v}^{−1}αx) ∈ R_{v}. Da außerdem w^{σ}(αx) > 0 ist für alle σ ∈ G \ G_{w}^{−}, folgt

∑_{σ∈G_{w}^{−}} σ(αx) = S_{L/K}(αx) − ∑_{σ∈G\G_{w}^{−}} σ(αx) ∈ P_{w} ∩ B_{v} = Q_{w},

wegen \overline{α} = 1 also

0 = ∑_{σ∈G_{w}^{−}} \overline{σ(αx)} = ∑_{σ∈G_{w}^{−}} \overline{σ(x)}

im Widerspruch zu (3).

(d) Zu w/v wählen wir t_{w} ∈ L mit w(t_{w}) = 1. Nach (a) haben wir einen R_{v}-Modulhomo-morphismus

B_{v}^{#}/B_{v} → ∏_{w/v} R_{w}t_{w}^{−d_{w}}/R_{w}
y + B_{v} ↦ (y + R_{w})_{w/v},

der nach 1.23(c) injektiv ist. Er ist auch surjektiv, denn zu (y_{w} +R_{w})_{w/v} ∈ ∏_{w/v} R_{w}t_{w}^{−d_{w}}/R_{w} existiert nach 1.19 ein y ∈ L mit w(y − y_{w}) ≥ 0, also w(y) ≥ −d_{w} und y + R_{w} = y_{w} + R_{w} für alle w/v. Mithilfe von 4.5 erhalten wir

dim_{k} B_{v}^{#}/B_{v} = ∑_{w/v} dim_{k} R_{w}/R_{w}t_{w}^{d_{w}} = ∑_{w/v} d_{w}f_{w} = grad 𝔡_{L,v}.

Es bleibt dim_{k} B_{v}^{#}/B_{v} = d_{v}f_{v} zu zeigen. Nach 5.3 existiert eine R_{v}-Basis (z_{1}, …, z_{n}) von B_{v}^{#} und a_{1}, …, a_{n} ∈ R_{v}, so daß (a_{1}z_{1}, …, a_{n}z_{n}) eine R_{v}-Basis von B_{v} ist. Daher ist B_{v}^{#}/B_{v} ≃ ⨁_{i=1}^{n} R_{v}/R_{v}a_{i} als k-Vektorraum, und wegen D_{L/K}(a_{1}z_{1}, …, a_{n}z_{n}) = (a_{1} ⋯ a_{n})^{2}D_{L/K}(z_{1}, …, z_{n}) und 5.1(a) hat man d_{v} = v(a_{1} ⋯ a_{n}). Mithilfe von 4.5 folgt

dim_{k} B_{v}/B_{v}^{#} = ∑_{i=1}^{n} v(a_{i})f_{v} = d_{v}f_{v}.

□

Aus den Aussagen (b)–(d) läßt sich eine Formel ablesen, um die d_{L,v} direkt zu berechnen.

5.5 Korollar. Für v ∈ V ist

(a) d_{L,v} ≥ ∑_{w/v}(e_{w/v} − 1)f_{w/v}.

(b) Ist v zahm verzweigt in L/K, so gilt in (a) das Gleichheitszeichen.

Beweis. Es gilt

d_{L,v}f_{v} = grad 𝔡_{L,v} = ∑_{w/v} d_{w/v}f_{w} = ∑_{w/v} d_{w/v}f_{w/v}f_{v},

also folgt

(a) aus 5.4(b) und (b) aus 5.4(c).

□

Nach 5.1(b) und 5.4 ist 𝔡_{L,v} = 𝔬 für fast alle v ∈ V. Daher ist die folgende Definition sinnvoll.

5.6 Definition. Der Divisor 𝔡_{L,v} ∈ D_{L} aus 5.4(a) heißt die (lokale) Differente von v in L/K. Setzt man alle lokalen Differenten zusammen, so erhält man den Divisor 𝔡_{L/K} := ∑_{v∈V} 𝔡_{L,v} von L, den wir die (globale) Differente von L/K nennen wollen.

Wir sehen jetzt, daß grad 𝔡_{L/K} = ∑_{v∈V} d_{L,v}f_{v} der ‘Korrekturterm’ in der Formel 5.2 ist. Die Zahlen 2g_{K} − 2 und 2g_{L} − 2 legen nahe, die Grade der kanonischen Divisoren von K und L miteinander zu vergleichen. Dafür müssen wir erklären, wie wir Divisoren und Differentiale von K nach L ‘liften’.

5.7 Definition. Sei 𝔞 = ∑_{v} a_{v}𝔭_{v} ∈ D_{K} und 𝔟 = ∑_{w} b_{w}𝔭_{w} ∈ D_{L}. Wir setzen 𝔞_{L} := ∑_{v∈V} a_{v} ∑_{w/v} e_{w/v}𝔭_{w} ∈ D_{L}. Desweiteren definieren wir kleinere Adleräume A_{L/K} := {(y_{w})_{w} ∈ A_{L} : y_{w} = yw̃, falls w und w̃ dasselbe v ∈ V fortsetzen} und A_{L/K}(𝔟) := A_{L}(𝔟) ∩ A_{L/K}. Dann läßt sich die Spur in L/K durch

A_{L/K} → A_{K}
(y_{w})_{w} ↦ (x_{v})_{v} mit x_{v} := S_{L/K}(y_{w}) für w/v

auf die Adleringe fortsetzen und wird dort ebenfalls mit S_{L/K} bezeichnet.

5.8 Lemma. Sei 0 ≠ ω ∈ Ω_{K} und 𝔠 := (ω)_{L} + 𝔡_{L/K} ∈ D_{L}.

(a) Für 𝔞 ∈ D_{K} ist grad 𝔞_{L} = ngrad 𝔞.

(b) Für 𝔟 ∈ D_{L} ist die kanonische Einbettung

A_{L/K}/(A_{L/K}(𝔟) + L) → A_{L}/(A_{L}(𝔟) + L)
α + (A_{L/K}(𝔟) + L) ↦ α + (A_{L}(𝔟) + L)

ein k-Vektorraumisomorphismus.

(c) Für ω_{L} := ω ∘ S_{L/K} ∈ Hom_{k}(A_{L/K}, k) gilt ω_{L}(A_{L/K}(𝔠) + L) = 0, also definiert ω_{L} nach (b) ein Differential von L.

(d) (ω_{L}) = 𝔠.

Beweis. (a) Folgt direkt mit 1.23(b).

(b) Zu zeigen ist die Surjektivität. Wir schreiben 𝔟 := ∑_{w} b_{w}𝔭_{w}. Zu β = (z_{w})_{w} ∈ A_{L} existiert nach 1.19 für jedes v ∈ V ein y_{v} ∈ L, so daß w(y_{v} − z_{w}) ≥ −b_{w} für alle w/v. Für α := (y_{w})_{w} mit y_{w} := y_{v} für w/v gilt dann α ∈ A_{L/K} und α − β ∈ A_{L}(𝔟).

(c) Offensichtlich ist ω_{L}(L) = ω(S_{L/K}(L)) ⊆ ω(K) = 0. Schreiben wir (ω) = ∑_{v} m_{v}𝔭_{v} und 𝔠 = ∑_{w} c_{w}𝔭_{w}, so ist

c_{w} = e_{w/v}m_{v} + d_{w/v} ∀v ∈ V, w/v.

Zu v ∈ V wählen wir wieder t_{v} ∈ K mit v(t_{v}) = 1. Sei α = (y_{w})_{w} ∈ A_{L/K}(𝔠), dann gilt

w(y_{w}) ≥ −c_{w}  ∀v ∈ V, w/v
⟹  w(t_{v}^{m_{v}}y_{w}) ≥ −d_{w/v}  ∀v ∈ V, w/v
⟹  t_{v}^{m_{v}}y_{w} ∈ B_{v}^{#}  ∀v ∈ V, w/v
⟹ t_{v}^{m_{v}}S_{L/K}(y_{w}) ∈ R_{v}  ∀v ∈ V, w/v
⟹ v(S_{L/K}(y_{w})) ≥ −m_{v}  ∀v ∈ V, w/v
⟹  S_{L/K}(α) ∈ A_{L/K}((ω))
⟹  ω_{L}(α) = ω(S_{L/K}(α)) = 0.

(d) Nach (c) ist schon 𝔠 ≤ (ω_{L}) bewiesen. Sei v ∈ V und w/v fest. Zu zeigen ist, daß ein α ∈ A_{L/K}(𝔠 + 𝔭_{w}) existiert, so daß ω_{L}(α) ≠ 0 ist. Nach 1.19 existiert ein t_{w} ∈ L mit

w(t_{w}) = 1,
w̃(t_{w}) = 0 ∀w̃/v, w̃ ≠ w,

und ein y ∈ L mit

\begin{aligned}w(y) & = & −d_{w/v} − 1, \\ w̃(y) & ≥ & −d_{w̃/v} ∀w̃/v, w̃ ≠ w. \end{aligned} ; (∗)

Damit ist y ∉ B_{v}^{#}. Folglich existiert ein x ∈ B_{v} mit S_{L/K}(xy) ∉ R_{v}. Dabei muß w(x) = 0 sein, denn sonst wäre t_{w}^{−1}x ∈ B_{v}, also t_{w}y ∉ B_{v}^{#} im Widerspruch zu (∗). Nach Ersetzen von y durch xy können wir daher v(S_{L/K}(y)) < 0 annehmen. Wählen wir z ∈ K mit v(z) = −m_{v} − 1, also v(z/S_{L/K}(y)) ≥ −m_{v}, und setzen α := (yw̃)w̃ mit

yw̃ := \{ \begin{matrix}\frac{z}{S_{L/K}(y)}y & für w̃/v \\ 0 & falls w̃ nicht v fortsetzt, \end{matrix}

so ist α ∈ A_{L/K}(𝔠 + 𝔭_{w}) und ω_{L}(α) = ω(S_{L/K}(α)) ≠ 0.

□

Beweis der Geschlechtsformel 5.2. Wir wählen ω ∈ Ω_{K}, ω ≠ 0. Mit 4.28(c) und dem vorangehenden Lemma können wir folgern, daß

2g_{L} − 2 = grad (ω)_{L} = grad ((ω_{L}) + 𝔡_{L/K}) = (2g_{K} − 2)n + ∑_{v∈V} d_{L,v}f_{v}.

□

6 Der Satz von Weil

Den algebraischen Zahlkörpern noch ähnlicher werden algebraische Funktionenkörper, wenn sie endlichen Konstantenkörper besitzen. Man subsumiert daher diese beiden Klassen von Körpern häufig unter dem Begriff ‘globale Körper’. Gemeinsam ist ihnen z. B. die Endlichkeit der Klassenzahl und der Restklassenkörper. Es sei K ein algebraischer Funktionenkörper über dem endlichen Körper k := 𝔽_{q} mit q Elementen (q eine Primpotenz), so daß k der Konstantenkörper von K/k ist. Im Mittelpunkt unseres Interesses steht in diesem Abschnitt die von F. K. Schmidt [Sm] eingeführte Zetafunktion, die analog zur Dedekindschen Zetafunktion, oder genauer: zur vollständigen Zetafunktion eines algebraischen Zahlkörpers (vgl. [Nk, pp. 478, 487]), gebildet wird und deren Untersuchung uns weitere Informationen über K liefert. Wir halten uns im wesentlichen an [FJ, Chapter 3], mit dem Unterschied, daß wir die Zetafunktion rein algebraisch als formale Potenzreihe über ℂ einführen und behandeln. Es sei V := V (K/k) die abstrakte Kurve, N := #V_{1}(K/k) die Anzahl der rationalen Punkte, D := D_{K} die Divisorengruppe und g := g_{K} das Geschlecht von K. Für n ∈ ℤ bezeichne Cℓ_{n} := {𝔄 ∈ D/(K^{∗}) : grad 𝔄 = n} die Menge der Divisorenklassen vom Grad n und h_{0} := h_{0}(K) = #Cℓ_{0} die Divisorenklassenzahl von K. Wir wissen nicht, ob es zu jedem n ∈ ℤ auch einen Divisor 𝔡 ∈ D mit grad 𝔡 = n gibt, zumindest aber ist das Bild der Gradabbildung grad : D → ℤ eine Untergruppe von ℤ. Wir definieren δ ∈ ℕ durch

grad (D) = δℤ.

Wir werden später sehen, daß tatsächlich δ = 1 ist, zunächst können wir jedoch nur δ|2g − 2 aus 4.28(c) folgern.

6.1 Satz.

(a) Für n ∈ ℕ_{0} ist die Menge

{𝔞 ∈ D : 𝔞 ≥ 𝔬, grad 𝔞 = n}

endlich.

(b) Die Klassengruppe Cℓ_{0} ist endlich.

Beweis. (a) Es genügt offenbar, zu zeigen, daß #{v ∈ V : f_{v} ≤ n} < ∞ ist. Dies folgt mithilfe von 4.3 und 1.21(b), da es für x ∈ K \ k nur endlich viele normierte, irreduzible Polynome p ∈ k[x] mit grad p ≤ n gibt.

(b) Wir wählen n ≥ g, so daß Cℓ_{n} ≠ ∅ ist. Für festes 𝔄_{1} ∈ Cℓ_{n} haben wir offenbar eine Bijektion

Cℓ_{0} ↔ Cℓ_{n}
𝔇 ↦ 𝔇 + 𝔄_{1}.

Nach (a) genügt es, zu zeigen, daß es in jeder Klasse 𝔄 ∈ Cℓ_{n} einen Divisor 𝔞 ≥ 𝔬 gibt. Sei 𝔄 ∈ Cℓ_{n}, dann haben wir für irgendein 𝔡 ∈ 𝔄 nach 4.19(b), daß dim 𝔡 ≥ n + 1 − g ≥ 1 ist, also y ∈ K^{∗} existiert mit 𝔞 := 𝔡 + (y) ≥ 𝔬.

□

6.2 Definition. Wir setzen A_{n} := #{𝔞 ∈ D : 𝔞 ≥ 𝔬, grad 𝔞 = n} und definieren die Zetareihe oder Zetafunktion von K als die (formale) Potenzreihe

Z(t) := ∑_{n=0}^{∞} A_{n}t^{n} ∈ ℂ[[t]],

wobei t transzendent über ℂ ist.

Wir wollen die Koeffizienten der Zetareihe ausrechnen. Offenbar ist A_{0} = 1, A_{1} = N und A_{n} = 0 für δ |/ n.

6.3 Lemma.

(a) Für 𝔄 ∈ D/(K^{∗}) ist

#\{𝔞 ∈ 𝔄 : 𝔞 ≥ 𝔬\} = \frac{q^{dim 𝔄} − 1}{q − 1}.

(b) Sei n > 2g − 2 mit δ|n, dann ist

A_{n} = \frac{q^{n+1−g} − 1}{q − 1}h_{0}.

Beweis. (a) Wir wählen einen Divisor 𝔡 ∈ 𝔄. Offenbar gilt

𝔞 ∈ 𝔄, 𝔞 ≥ 𝔬 ⟺ 𝔞 = 𝔡 + (y) für ein y ∈ L(𝔡) \ {0}.

Dabei ist (y_{1}) = (y_{2}) ⟺ \frac{y_{1}}{y_{2}} ∈ k^{∗}, also

#\{𝔞 ∈ 𝔄 : 𝔞 ≥ 𝔬\} = \frac{#L(𝔡) − 1}{#k^{∗}} = \frac{q^{dim 𝔄} − 1}{q − 1}.

(b) Nach Beweis von 6.1(b) ist #Cℓ_{n} = h_{0}, also folgt die Formel aus (a), 4.24 und dem Satz von Riemann-Roch.

□

Nun können wir mithilfe der Rechenregeln aus 3.9 leicht zeigen, daß Z(t) eine rationale Funktion ist.

6.4 Satz. Es gilt

Z(t) = \frac{P (t)}{Q(t)}

mit teilerfremden Polynomen P (t), Q(t) ∈ ℂ[t], grad P (t) ≤ 2(g − 1 + δ) und Q(t) = (1 − t^{δ})(1 − (qt)^{δ}).

Beweis. Für g = 0 gilt nach 4.20(b) und Teil (b) des vorigen Lemmas

Z(t) = \frac{1}{q − 1} ∑_{m=0}^{∞}(q^{mδ+1} − 1)t^{mδ} = \frac{1}{q − 1} (\frac{q}{1 − (qt)^{δ}} − \frac{1}{1 − t^{δ}} ) = \frac{P (t)}{Q(t)}

mit

P (t) = \frac{q^{δ} − q}{q − 1} t^{δ} + 1

und Q(t) wie behauptet. Für g > 0 setzen wir F (t) := ∑_{n=0}^{2g−2} A_{n}t^{n} und r := 1 + (2g − 2)/δ und erhalten nach 6.3(b)

Z(t) − F (t) = ∑_{m=r}^{∞} A_{mδ}t^{mδ}

= \frac{h_{0}}{q − 1} ∑_{m=r}^{∞}(q^{mδ+1−g} − 1)t^{mδ}

= \frac{h_{0}}{q − 1}t^{rδ} (q^{rδ+1−g} ∑_{m=0}^{∞}(qt)^{mδ} − ∑_{m=0}^{∞} t^{mδ})

= \frac{h_{0}}{q − 1}t^{2g−2+δ} (\frac{q^{g−1+δ}}{1 − (qt)^{δ}} − \frac{1}{1 − t^{δ}} ) ,

also wiederum

Z(t) = \frac{P (t)}{Q(t)}

mit Q(t) wie oben und

P (t) = F (t)Q(t) + \frac{h_{0}}{q − 1}t^{2g−2+δ}(q^{g−1+δ}(1 − t^{δ}) − (1 − (qt)^{δ})).

In beiden Fällen ist damit grad P (t) ≤ 2g − 2 + 2δ. Außerdem gilt für jede Nullstelle λ ∈ ℂ von Q(t) entweder λ^{δ} = 1, also P (λ) = \frac{h_{0}}{q−1}(q^{δ} − 1) ≠ 0, oder (qλ)^{δ} = 1, woraus P (λ) = \frac{h_{0}}{q−1}q^{1−g}(1 − q^{−δ}) ≠ 0 folgt. Daher sind P (t) und Q(t) teilerfremd. □

6.5 Satz. Z(t) hat eine Darstellung als Euler-Produkt

Z(t) = ∏_{v∈V} \frac{1}{1 − t^{f_{v}}} .

Das soll heißen, für jede aufsteigende Folge S_{1} ⊆ S_{2} ⊆ … von endlichen Teilmengen von V mit ⋃_{m∈ℕ} S_{m} = V (z. B. S_{m} = {v ∈ V : f_{v} ≤ m}) konvergiert die Folge

( ∏_{v∈S_{m}} \frac{1}{1 − t^{f_{v}}} )_{m∈ℕ}

in ℂ((t)) gegen Z(t).

Beweis. Für jede endliche Teilmenge S von V ist

∏_{v∈S} \frac{1}{1 − t^{f_{v}}} = ∏_{v∈S} ∑_{n=0}^{∞} t^{f_{v}n} = ∑_{n=0}^{∞} A_{n}(S)t^{n}

mit

A_{n}(S) := #{(n_{v})_{v∈S} ∈ ℕ_{0}^{S} : ∑_{v∈S} f_{v}n_{v} = n} = #{𝔞 ∈ ∑_{v∈S} ℕ_{0}𝔭_{v} : grad 𝔞 = n} ≤ A_{n}.

Dabei ist offenbar A_{n}(S) = A_{n}, falls f(S) := min{f_{v} : v ∈ V \ S} > n ist. Für eine Folge (S_{m})_{m∈ℕ} endlicher Teilmengen S_{m} ⊆ V mit den geforderten Eigenschaften gilt lim_{m→∞} f(S_{m}) = ∞ nach Beweis von 6.1(a), und daher konvergiert

Z(t) − ∏_{v∈S_{m}} \frac{1}{1 − t^{f_{v}}} = ∑_{n=f(S_{m})}^{∞}(A_{n} − A_{n}(S_{m}))t^{n}

in ℂ((t)) gegen 0 für m → ∞. □

Um mehr herauszufinden, betrachten wir die Konstantenkörpererweiterungen von K/k.

6.6 Definition. Für r ∈ ℕ bezeichne k_{r} den endlichen Oberkörper 𝔽_{q^{r}} von k mit [k_{r} : k] = r, K_{r}/k_{r} die zugehörige Konstantenkörpererweiterung und Z_{r}(t) ihre Zetafunktion.

6.7 Satz. Sei r ∈ ℕ.

(a) Jede Bewertung v ∈ V hat genau d_{v} := ggT(f_{v}, r) Fortsetzungen w nach K_{r}. Für diese gilt e_{w/v} = 1 und f_{w/v} = r/d_{v}.

(b) Für die Zetafunktionen gilt die Beziehung

Z_{r}(t^{r}) = ∏_{{λ∈ℂ \atop λ^{r}=1}} Z(λt).

Beweis. (a) Sei w eine Fortsetzung von v ∈ V nach K_{r}. Aus 4.32(a) wissen wir, daß e_{w/v} = 1 und k_{w} = k_{v}k_{r} ist. Nach Galoistheorie existiert genau ein Zwischenkörper k′ von k_{w}/k mit [k′ : k] = m_{v} := kgV(f_{v}, r) und dieser enthält k_{v} und k_{r}. Daher ist k_{w} = k′ und f_{w/v} = m_{v}/f_{v} = r/d_{v} =: s_{v}. Das Übrige folgt mit 1.23(b).

(b) Zunächst sei v ∈ V fest. Während λ die r-ten Einheitswurzeln durchläuft, durchläuft λ^{f_{v}} die s_{v}-ten Einheitswurzeln, und zwar jede d_{v}-mal, daher gilt

∏_{λ^{r}=1}(1 − (λt)^{f_{v}}) = ( ∏_{μs^{v} =1}(1 − μt^{f_{v}}))^{d_{v}} = (1 − t^{m_{v}})^{d_{v}} .

Mit (a) und dem Euler-Produkt 6.5 folgt

Z_{r}(t^{r}) = ∏_{v∈V} ∏_{w/v} \frac{1}{1 − t^{m_{v}}} = ∏_{v∈V} ∏_{λ^{r}=1} \frac{1}{1 − (λt)^{f_{v}}} = ∏_{λ^{r}=1} Z(λt).

□

6.8 Korollar. δ = 1.

Beweis. Sei δ′ ∈ ℕ_{0} die Zahl mit grad (D_{K_{δ}}) = δ′ℤ. Wir schreiben

Z(t) = \frac{P (t)}{Q(t)} und Z_{δ}(t) = \frac{P_{δ}(t)}{Q_{δ}(t)}

mit P (t), Q(t), P_{δ}(t), Q_{δ}(t) ∈ ℚ[t], Q(t) = (1 − t^{δ})(1 − (qt)^{δ}) und Q_{δ}(t) = (1 − t^{δ′})(1 − (q^{δ}t)^{δ′}) gemäß 6.4. Wegen Z(t) = ∑_{m=0}^{∞} A_{mδ}t^{mδ} = Z(λt) für jede δ-te Einheitswurzel λ ∈ ℂ gilt nach Teil (b) des vorigen Satzes

\frac{P_{δ}(t^{δ})}{Q_{δ}(t^{δ})} = Z_{δ}(t^{δ}) = ∏_{λ^{δ}=1} Z(λt) = Z(t)^{δ} = \frac{P (t)^{δ}}{Q(t)^{δ}} .

Da P (t) zu Q(t) und P_{δ}(t^{δ}) zu Q_{δ}(t^{δ}) teilerfremd ist, folgt für die Bewertung v := v_{t−1} von ℂ(t):

−1 = v(Z_{δ}(t^{δ})) = δv(Z(t)) = −δ.
□

In Umkehrung zu 4.20(a) erhalten wir außerdem:

6.9 Korollar. Ist g = 0, so ist K = k(x) für ein x ∈ K.

Beweis. Nach dem vorigen Korollar existiert 𝔡 ∈ D mit grad 𝔡 = 1, also dim 𝔡 ≥ 1+1−0 = 2 nach 4.19(b). Daher gibt es ein y ∈ K^{∗} mit 𝔞 := 𝔡 + (y) ≥ 𝔬. Da außerdem grad 𝔞 = 1 ist, muß 𝔞 = 𝔭_{v} ein Primdivisor sein für ein v ∈ V. Auch für diesen gilt dim 𝔭_{v} ≥ 2, wir haben also erneut ein x ∈ K \ k mit (x) + 𝔭_{v} ≥ 𝔬. Es folgt, daß 𝔭_{v} der Polstellendivisor von x ist und daher [K : k(x)] = 1 nach 4.15. □

Fortan sei P (t) = ∑ p_{n}t^{n} := (1 − t)(1 − qt)Z(t) ∈ ℚ[t] das Polynom vom Grad ≤ 2g gemäß 6.4. Die folgenden Eigenschaften von P (t) lassen sich leicht nachprüfen.

6.10 Bemerkung.

(a) p_{0} = 1, p_{1} = N − (q + 1) und p_{n} = A_{n} − (q + 1)A_{n−1} + qA_{n−2} für n ≥ 2.

(b) P (1) = h_{0}.

Beweis. (a) Da

P (t) = (1 − (q + 1)t + qt^{2})Z(t)
= A_{0} + (A_{1} − (q + 1)A_{0})t + ∑_{n=2}^{∞}(A_{n} − (q + 1)A_{n−1} + qA_{n−2})t^{n}

ist, ergibt sich die Behauptung durch Koeffizientenvergleich.

(b) Für g = 0 folgt die Behauptung aus (a) und 4.20(b). Ist g > 0, so haben wir nach (a) und 6.3(b)

P (1) = ∑_{n=0}^{2g} p_{n}

= ∑_{n=0}^{2g} A_{n} − (q + 1) ∑_{n=0}^{2g−1} A_{n} + q ∑_{n=0}^{2g−2} A_{n}
= A_{2g} − qA_{2g−1}
= \frac{q^{g+1} − 1 − q(q^{g} − 1)}{q − 1}h_{0}
= h_{0}.

□

Mithilfe der folgenden Funktionalgleichung läßt sich P (t) genauer analysieren.

6.11 Satz.

(a) Z(t) erfüllt die Funktionalgleichung

Z(t) = (\sqrt{q}t)^{2g−2}Z(\frac{1}{qt}).

(b) P (t) erfüllt die Funktionalgleichung

P (t) = q^{g}t^{2g}P (\frac{1}{qt}).

Beweis. (a) Für g = 0 ist

Z(t) = Z_{0}(t) := \frac{1}{(1 − t)(1 − qt)},

und die Funktionalgleichung läßt sich direkt nachrechnen. Für g > 0 können wir nach 6.3 schreiben:

Z(t) = \frac{1}{q − 1} (  ∑_{{𝔄∈D/(K^{∗}) \atop 0≤grad 𝔄≤2g−2}}(q^{dim 𝔄} − 1)t^{grad 𝔄} + h_{0} ∑_{n=2g−1}^{∞}(q^{n+1−g} − 1)t^{n})

= \frac{F (t) + G(t)}{q − 1}

mit

F (t) := ∑_{0≤grad 𝔄≤2g−2}q^{dim 𝔄}t^{grad 𝔄}

und

G(t) := h_{0} ( ∑_{n=2g−1}^{∞} q^{n+1−g}t^{n} − ∑_{n=0}^{∞} t^{n}) = h_{0} (\frac{q^{g}t^{2g−1}}{1 − qt} − \frac{1}{1 − t}) .

Man rechnet direkt nach, daß

G(t) = (\sqrt{q}t)^{2g−2}G(\frac{1}{qt})

ist. Sei ℭ := ℭ_{K} die kanonische Klasse von K. Um zu zeigen, daß F (t) ebenfalls die Funktionalgleichung erfüllt, benutzen wir den Satz von Riemann-Roch in der Version 4.28(a) und die Tatsache, daß mit 𝔄 auch ℭ − 𝔄 die Menge ⋃_{n=0}^{2g−2} Cℓ_{n} durchläuft:

F (t) = ∑_{0≤grad 𝔄≤2g−2}q^{dim(ℭ−𝔄)+grad 𝔄+1−g}t^{grad 𝔄}
= ∑_{0≤grad 𝔅≤2g−2}q^{dim 𝔅}q^{g−1−grad 𝔅}t^{2g−2−grad 𝔅}

= (\sqrt{q}t)^{2g−2}F (\frac{1}{qt}).

(b) Ist Z_{0}(t) wie oben die Zetafunktion des rationalen Funktionenkörpers, so können wir mithilfe von (a) folgern, daß

P (t) = \frac{Z(t)}{Z_{0}(t)} = \frac{(\sqrt{q}t)^{2g−2}Z(\frac{1}{qt})}{(\sqrt{q}t)^{−2}Z_{0}(\frac{1}{qt})} = q^{g}t^{2g}P (\frac{1}{qt}).

□

6.12 Korollar. Für 0 ≤ n ≤ 2g gilt p_{n} = q^{n−g}p_{2g−n}. Insbesondere ist grad P (t) = 2g.

Beweis. Aus der Identität

∑_{n=0}^{2g} p_{n}t^{n} = q^{g}t^{2g}P (\frac{1}{qt}) = ∑_{n=0}^{2g} q^{g−n}p_{n}t^{2g−n} = ∑_{n=0}^{2g} q^{n−g}p_{2g−n}t^{n}

folgt die behauptete Formel durch Koeffizientenvergleich. Insbesondere ist p_{2g} = q^{g}. □

6.13 Definition. Wir schreiben

P (t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − ω_{i}t),

wobei ω_{1}, …, ω_{2g} ∈ ℂ die Weil-Zahlen von K genannt werden.

Da P (t) ∈ ℝ[t] ist, treten die nicht-reellen Weil-Zahlen in konjugiert komplexen Paaren auf. Da außerdem ∏_{i=1}^{2g} ω_{i} = q^{g} > 0 ist, ist die Anzahl sowohl der positiven als auch der negativen reellen Weil-Zahlen gerade. Die folgende Aussage über die ‘Größe’ der Weilzahlen kann als das Analogon zur (bisher unbewiesenen) Riemannschen Vermutung aus der algebraischen Zahlentheorie angesehen werden.

6.14 Satz von Weil. Es gilt |ω_{i}| = \sqrt{q} für 1 ≤ i ≤ 2g.

Ich möchte diesen sehr wichtigen Satz hier aus Zeitgründen nicht zeigen und verweise den/die LeserIn daher auf den mit modernen Methoden geführten Beweis in [FJ, p. 35ff]. Wir wollen jedoch noch einige Konsequenzen des Satzes von Weil festhalten.

6.15 Korollar.

(a) Für die Anzahl der rationalen Punkte von K/k gilt die Abschätzung

|N − (q + 1)| ≤ 2g\sqrt{q}.

(b) Für die Klassenzahl von K läßt sich durch

(\sqrt{q} − 1)^{2g} ≤ h_{0} ≤ (\sqrt{q} + 1)^{2g}

eine Größenordnung angeben.

(c) Die Weilzahlen lassen sich so ordnen, daß ω_{g+i} = \overline{ω_{i}} ist für 1 ≤ i ≤ g.

Beweis. (a) Wegen 6.10(a) und | ∑_{i} ω_{i}| ≤ ∑_{i} |ω_{i}|.

(b) Wegen 6.10(b) und |ω_{i}| − 1 ≤ |1 − ω_{i}| ≤ |ω_{i}| + 1.

6 Der Satz von Weil 49 (c) Nach den Überlegungen vor dem Satz von Weil.

□

Dem nächsten Lemma zufolge gilt der Satz von Weil genau dann für K/k, wenn er für eine Konstantenkörpererweiterung K_{r}/k_{r} gilt. 6.16 Lemma. Sei r ∈ ℕ. Für P_{r}(t) := (1 − t)(1 − q^{r}t)Z_{r}(t) gilt

P_{r}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − ω_{i}^{r}t).

Beweis. Mithilfe von 6.7(b) erhalten wir

P_{r}(t^{r}) = (1 − t^{r})(1 − (qt)^{r})Z_{r}(t^{r})
= ∏_{λ^{r}=1}(1 − λt)(1 − λqt)Z(λt)
= ∏_{λ^{r}=1} P (λt)
= ∏_{i=1}^{2g} ∏_{λ^{r}=1}(1 − λω_{i}t)
= ∏_{i=1}^{2g}(1 − (ω_{i}t)^{r})

und daher auch

P_{r}(t) = ∏_{i=1}^{2g}(1 − ω_{i}^{r}t).

□

Teil III

Zyklotomische Funktionenkörper

Wir kommen nun zum eigentlichen Thema dieser Arbeit. Ausgehend von dem rationalen Funktionenkörper 𝔽_{q}(x) konstruieren wir zu den klassischen Kreisteilungskörpern analoge Erweiterungen, die zyklotomischen Funktionenkörper. Dabei folgen wir in den Abschnitten 7 bis 10 zunächst Hayes [Ha], der selbst nach einer ursprünglich von Carlitz [Ca] stammenden Idee vorgeht, und verallgemeinern seine Resultate über Bewertungen, Ring ganzer Funktionen und Geschlecht der zyklotomischen Funktionenkörper unter ergänzender Hinzuziehung der beiden Arbeiten [GR1] und [GR2] von Galovich und Rosen. Abschließend greifen wir in Abschnitt 11 die von Quebbemann [Qb] durchgeführte asymptotische Untersuchung der Klassenzahlen zyklotomischer Funktionenkörper auf, die wir in gleicher Weise verallgemeinern. Fortan bezeichne K den rationalen Funktionenkörper in einer Variablen über dem endlichen Körper k := 𝔽_{q} mit q Elementen, x eine Unbestimmte über k, so daß K = k(x) ist, und R = k[x] den zugehörigen Polynomring. Sei außerdem u eine Unbestimmte über K.

7 Carlitz-Moduln

In der klassischen Theorie hatte man für m ∈ ℕ an ℚ die Gruppe der m-ten Einheitswurzeln adjungiert. Diese kann aufgefaßt werden als der Torsionsuntermodul des ℤ-Moduls ℂ^{∗} unter der Skalarmultiplikation z ↦ z^{m}. In ähnlicher Weise lassen wir nun die Elemente von R auf dem algebraischen Abschluß \overline{K} von K, und zwar diesmal auf der additiven Gruppe (\overline{K}, +), linear operieren. So erhalten wir zu jedem M ∈ R einen — wie in der klassischen Theorie — endlichen, zyklischen Torsionsuntermodul Λ_{M} des R-Moduls \overline{K}, dessen Erzeugende den primitiven m-ten Einheitswurzeln entsprechen.

Der Frobeniusautomorphismus φ mit φ(z) = z^{q} und die Abbildung χ mit χ(z) = xz sind k-Vektorraumendomorphismen auf (\overline{K}, +). Wir fassen k in üblicher Weise als Teilmenge der k-Algebra End_{k}(\overline{K}) auf und betrachten den Einsetzungshomomorphismus

R → End_{k}(\overline{K})
M ↦ M(φ + χ).

Er ist, wie wir gleich sehen werden, injektiv. Sein Bild k[φ + χ] ist eine k-Unteralgebra von End_{k}(\overline{K}), die wiederum k enthält. Offenbar wird also \overline{K} zu einem R-Modul mit der Skalarmultiplikation

R × \overline{K} → \overline{K}
(M, z) ↦ M ∘ z := (M(φ + χ))(z).

Man beachte, daß für α ∈ k hierbei α ∘ z = αz gilt.

7.1 Satz. Für M ∈ R mit grad M = d existieren Polynome \left[{M \atop 0}\right] , …, \left[{M \atop d}\right] ∈ R mit

grad \left[{M \atop i}\right] = (d − i)q^{i} für 0 ≤ i ≤ d, \left[{M \atop 0}\right] = M, \left[{M \atop d}\right] = Leitkoeffiezient von M und

M ∘ z = ∑_{i=0}^{d} \left[{M \atop i}\right] z^{q^{i}} ∀z ∈ \overline{K}.

Für unsere Unbestimmte u setzen wir ebenfalls M∘u := ∑_{i=0}^{d} \left[{M \atop i}\right] u^{q^{i}} ∈ R[u]. Die Injektivität des Einsetzungshomomorphismus oben folgt sofort aus dem Satz: Ist M(φ + χ) = 0, so ist \overline{K} die Nullstellenmenge des Polynoms M ∘ u. Wegen #\overline{K} = ∞ muß M ∘ u = 0, insbesondere M = \left[{M \atop 0}\right] = 0 sein.

Beweis von 7.1. Es genügt, die Behauptung für M = x^{d} zu zeigen. Für beliebiges M ergibt sie sich dann aus der Implikation

M = ∑_{j=0}^{d} α_{j}x^{j}, α_{j} ∈ k ⟹ M ∘ z = ∑_{j=0}^{d} α_{j} ∑_{i=0}^{j} \left[{x^{j} \atop i}\right] z^{q^{i}} = ∑_{i=0}^{d} (∑_{j=i}^{d} α_{j} \left[{x^{j} \atop i}\right]) z^{q^{i}}.

Im Fall M = x^{d} führen wir vollständige Induktion über d. Die Behauptung ist klar für d ≤ 1. Für d > 1 ergibt sie sich aus dem Induktionsschluß

x^{d} ∘ z = x ∘ (x^{d−1} ∘ z)
= ∑_{i=0}^{d−1} \left[{x^{d−1} \atop i}\right]^{q}z^{q^{i+1}} + ∑_{i=0}^{d−1} x \left[{x^{d−1} \atop i}\right] z^{q^{i}}

= x^{d}z + ∑_{i=1}^{d−1} (\left[{x^{d−1} \atop i − 1}\right]^{q} + x \left[{x^{d−1} \atop i}\right]) z^{q^{i}} + z^{q^{d}}.
□

7.2 Korollar. Sei 0 ≠ M ∈ R. Das Polynom M ∘ u ∈ R[u] ist separabel. Der Torsions-R-Modul

Λ_{M} := \{z ∈ \overline{K} : M ∘ z = 0\}

hat q^{grad M} Elemente.

Beweis. Wegen (M ∘ u)′ = \left[{M \atop 0}\right] = M ≠ 0 hat M ∘ u keine mehrfachen, also genau q^{grad M} verschiedene Nullstellen. □

7.3 Definition. Für 0 ≠ M ∈ R heißt der R-Modul Λ_{M} aus dem vorhergehenden Korollar der Carlitz-Modul von M. Wir wollen außerdem Λ_{M}^{∗} := {λ ∈ Λ_{M} : Λ_{M} = R ∘ λ} für die Menge seiner Erzeugenden schreiben.

Man beachte, daß Λ_{α} = Λ_{α}^{∗} = {0} ist für α ∈ k^{∗}. Ist M ∈ R ein lineares Polynom, so hat man Λ_{M} = kλ für 0 ≠ λ ∈ Λ_{M} nach 7.2, also wiederum Λ_{M}^{∗} = Λ_{M} \ {0} ≠ ∅. Wir werden gleich sehen, daß allgemein Λ_{M}^{∗} für 0 ≠ M ∈ R nicht leer, d. h. Λ_{M} ein zyklischer R-Modul ist. Dazu zunächst ein Lemma.

7.4 Lemma. Seien 0 ≠ M, N, Q ∈ R mit M = NQ.

(a) Der R-Modulhomomorphismus

Λ_{M} → Λ_{N}
μ ↦ Q ∘ μ

ist surjektiv und hat den Kern Λ_{Q}.

(b) Ist λ ∈ Λ_{M}^{∗}, so ist Q ∘ λ ∈ Λ_{N}^{∗}.

Beweis. (a) Zu zeigen ist die Surjektivität. Sie folgt aus

# (Λ_{M}/Λ_{Q}) = \frac{q^{grad M}}{q^{grad Q}} = q^{grad N} = #Λ_{N}.

(b) Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗}, also Λ_{M} = R ∘ λ, und ν ∈ Λ_{N} beliebig. Nach (a) existiert ein A ∈ R mit ν = Q ∘ (A ∘ λ) = A ∘ (Q ∘ λ) ∈ R ∘ (Q ∘ λ).

□

7.5 Satz. Sei 0 ≠ M ∈ R.

(a) Schreiben wir M = α ∏_{i=1}^{r} P_{i}^{n_{i}} mit α ∈ k^{∗}, r ∈ ℕ_{0}, n_{i} ∈ ℕ und paarweise verschiedenen normierten, irreduziblen P_{i} ∈ R, so ist

Λ_{M} = ⨁_{i=1}^{r} Λ_{P_{i}^{n_{i}}} .

(b) Λ_{M} ist ein zyklischer R-Modul.

Beweis. (a) Sei N_{i} := M/P_{i}^{n_{i}}. Wegen P_{i}^{n_{i}}|M ist Λ_{P_{i}^{n_{i}}} ⊆ Λ_{M}. Sei umgekehrt μ ∈ Λ_{M}, also M ∘μ = 0. Wegen ggT(N_{1}, …, N_{r}) = 1 existieren B_{1}, …, B_{r} ∈ R mit ∑_{i=1}^{r} B_{i}N_{i} = 1. Setzen wir μ_{i} := (B_{i}N_{i}) ∘ μ, so ist ∑_{i=1}^{r} μ_{i} = μ und P_{i}^{n_{i}} ∘ μ_{i} = B_{i} ∘ (M ∘ μ) = 0, also μ ∈ ∑_{i=1}^{r} Λ_{P_{i}^{n_{i}}}. Die Direktheit der Summe zeigen wir durch vollständige Induktion nach r. Für r = 1 ist nichts zu zeigen. Sei r > 1 und μ_{i} ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}}} beliebig mit ∑_{i=1}^{r} μ_{i} = 0. Nach Induktionsvoraussetzung ist

Λ_{N_{1}} = ⨁_{i=2}^{r} Λ_{P_{i}^{n_{i}}} .

Wegen ggT(P_{1}^{n_{1}}, N_{1}) = 1 existieren A, B ∈ R mit AP_{1}^{n_{1}} + BN_{1} = 1, und wegen μ_{1} = − ∑_{i=2}^{r} μ_{i} ∈ Λ_{P_{1}^{n_{1}}} ∩ Λ_{N_{1}} folgt also μ_{1} = A ∘ (P_{1}^{n_{1}} ∘ μ_{1}) + B ∘ (N_{1} ∘ μ_{1}) = 0 und damit nach Induktionsvoraussetzung auch μ_{2} = ⋯ = μ_{r} = 0.

(b) Wir beweisen die Aussage in zwei Schritten. Sei zunächst M = P^{n} mit n ∈ ℕ, P ∈ R normiert, irreduzibel, und d := grad P. Wir führen Induktion über n. Für n = 1 ist Λ_{M} = Λ_{P} in natürlicher Weise ein (R/RP)-Vektorraum, der wegen #Λ_{P} = q^{d} = #(R/RP) die Dimension 1 hat, also ein zyklischer (R/RP)-Modul und damit erst recht ein zyklischer R-Modul. Für n > 1 ist der R-Modulhomomorphismus

Λ_{P^{n}} → Λ_{P^{n−1}}
μ ↦ P ∘ μ

surjektiv nach Teil (a) des vorangegangenen Lemmas, also existiert nach Induktionsvoraussetzung ein λ ∈ Λ_{P^{n}} mit

P ∘ λ ∈ Λ_{P^{n−1}}^{∗}.

Unser Ziel ist, Λ_{P^{n}} = R∘λ zu zeigen. Sei μ ∈ Λ_{P^{n}} beliebig. Wegen P ∘μ ∈ Λ_{P^{n−1}} existiert ein A ∈ R mit P ∘ μ = A ∘ (P ∘ λ), d. h. μ − A ∘ λ ∈ Λ_{P}. Da nach Teil (b) des Lemmas außerdem P^{n−1} ∘ λ = P^{n−2} ∘ (P ∘ λ) ∈ Λ_{P}^{∗} ist, existiert ein B ∈ R mit μ − A ∘ λ = B ∘ (P^{n−1} ∘ λ), und wir erhalten μ = (A + BP^{n−1}) ∘ λ ∈ R ∘ λ, womit gezeigt ist, daß Λ_{P^{n}} zyklisch ist.

Im allgemeinen Fall schreiben wir M wie in (a). Nach dem ersten Beweisschritt sind die Λ_{P_{i}^{n_{i}}} zyklisch, etwa Λ_{P_{i}^{n_{i}}} = R ∘ λ_{i}. Wegen P_{i}^{n_{i}} ∈ J_{i} := ann_{R}(λ_{i}) = ann_{R}(Λ_{P_{i}^{n_{i}}}) ist J_{i} + J_{j} = R für 1 ≤ i < j ≤ r, also nach dem chinesischen Restsatz

R/ ⋂_{i=1}^{r} J_{i} ≃  ∏_{i=1}^{r} R/J_{i}  ≃ ⨁_{i=1}^{r} Λ_{P_{i}^{n_{i}}}  mit den Isomorphismen
A + ⋂_{i=1}^{r} J_{i} ↦ (A + J_{i})_{1≤i≤r}
(A_{i} + J_{i})_{1≤i≤r} ↦ ∑_{i=1}^{r} A_{i} ∘ λ_{i}.

Nach (a) ist folglich Λ_{M} = R ∘ λ mit λ = ∑_{i=1}^{r} λ_{i}.

□

Für 0 ≠ M ∈ R sei λ ∈ Λ_{M}^{∗} und J := ann_{R}(λ) = ann_{R}(Λ_{M}). Wie schon im vorangegangenen Beweis für die P_{i}^{n_{i}} benutzt, ist die Abbildung

R/J → Λ_{M}
A + J ↦ A ∘ λ

bekanntlich ein R-Modulisomorphismus, wobei A∘λ ∈ Λ_{M}^{∗} ⟺ A+J ∈ (R/J)^{∗} gilt. Wegen M ∈ J und #(R/J) = #Λ_{M} = q^{grad M} = #(R/RM) muß J = RM sein. Es drängt sich eine aus der algebraischen Zahlentheorie bekannte Definition auf.

7.6 Definition. Für 0 ≠ M ∈ R heißt ϕ(M) := #(R/RM)^{∗} = #Λ_{M}^{∗} die Eulerfunktion von M.

Im weiteren Verlauf werden wir noch einige Eigenschaften der Carlitz-Moduln benutzen, die wir hier kurz zusammenfassen wollen.

7.7 Lemma.

(a) Sind 0 ≠ M, N ∈ R teilerfremd, so gilt ϕ(MN) = ϕ(M)ϕ(N).

(b) Für n ∈ ℕ und irreduzibles P ∈ R mit d := grad P ist ϕ(P^{n}) = (q^{d} − 1)q^{(n−1)d} und Λ_{P^{n}}^{∗} = Λ_{P^{n}} \ Λ_{P^{n−1}}.

(c) Für 0 ≠ M ∈ R hat man eine disjunkte Vereinigung

Λ_{M} = ⋃_{N∈R normiert N|M} Λ_{N}^{∗}.

Beweis. (a) Nach dem chinesischen Restsatz ist (R/RMN)^{∗} ≃ (R/RM)^{∗} × (R/RN)^{∗}.

(b) Wegen A+RP^{n} ∉ (R/RP^{n})^{∗} ⟺ P |A ist (R/RP^{n})^{∗} = (R/RP^{n})\(RP/RP^{n}), außerdem ist (RP/RP^{n}) ≃ (R/RP^{n−1}) als R-Modul, also ϕ(P^{n}) = q^{nd} − q^{(n−1)d}. Der zweite Teil der Aussage folgt wegen Λ_{P^{n}}^{∗} ⊆ Λ_{P^{n}} \ Λ_{P^{n−1}} und aus Anzahlgründen.

(c) Für 0 ≠ N, N′ ∈ R normiert mit N ≠ N′ ist Λ_{N}^{∗} ∩ Λ_{N′}^{∗} = ∅, denn λ ∈ Λ_{N}^{∗} ∩ Λ_{N′}^{∗} würde Λ_{N} = R ∘ λ = Λ_{N′} und damit N ∘ u = ∏_{μ∈Λ_{N}} (u − μ) = N′ ∘ u, insbesondere

N = \left[{N \atop 0}\right] = \left[{N′ \atop 0}\right] = N′ implizieren. Also ist die Vereinigung disjunkt. Aus N|M folgt Λ_{M} ⊇ Λ_{N}, also ist

Λ_{M} ⊇ ⋃_{N∈R normiert N|M} Λ_{N}^{∗}

klar. Sei umgekehrt μ ∈ Λ_{M}. Da R Hauptidealring ist, existiert ein normiertes Polynom N ∈ R mit ann_{R}(μ) = RN. Es folgt RM = ann_{R}(Λ_{M}) ⊆ ann_{R}(μ) = RN, also N|M, und wegen R/RN ≃ R ∘ μ ⊆ Λ_{N} ≃ R/RN ist Λ_{N} = R ∘ μ, also μ ∈ Λ_{N}^{∗}.

□

8 Die Galoisgruppe

Analog zu den klassischen Kreisteilungskörpern konstruieren wir nun aus K durch Adjunktion des im vorigen Abschnitt besprochenen Carlitzmoduls Λ_{M} den M-ten zyklotomischen Funktionenkörper über K. Wir werden sehen, daß es dabei schon genügt, nur irgendein λ ∈ Λ_{M}^{∗} zu adjungieren, daß K(λ)/K galoissch und daß die Galoisgruppe zu (R/RM)^{∗} isomorph ist, daß also alles so ist, wie wir es von der klassischen Theorie her kennen. Es sei im folgenden stets 0 ≠ M ∈ R.

8.1 Definition. Der Körper K_{M} := K(Λ_{M}) soll als M-ter zyklotomischer Funktionenkörper (über K) bezeichnet werden. Wir setzen G_{M} := Aut(K_{M}/K).

8.2 Satz. Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗}. K_{M}/K ist eine endliche Galoiserweiterung mit K_{M} = K(λ). G_{M} ist isomorph zu einer Untergruppe von (R/RM)^{∗}, also abelsch.

Beweis. K_{M}/K ist als Zerfällungskörper des separablen Polynoms M ∘ u eine endliche Galoiserweiterung. Sei σ ∈ G_{M}. Wegen Λ_{M} = R ∘ λ ⊆ R[λ] ⊆ K(λ) ist K_{M} = K(λ), also ist σ eindeutig durch σ(λ) bestimmt. Mit λ ist auch σ(λ) Nullstelle von M ∘ u, also

σ(λ) = A_{σ} ∘ λ mit A_{σ} ∈ R,

und A_{σ} ist modulo M eindeutig bestimmt. A_{σ} ist unabhängig von der Wahl von λ, denn für μ = B ∘ λ ist

σ(μ) = σ(B ∘ λ) = B ∘ σ(λ) = B ∘ (A_{σ} ∘ λ) = A_{σ} ∘ μ.

A_{σ} + RM ist eine Einheit in R/RM, denn es ist λ = σ(σ^{−1}(λ)) = A_{σ} ∘ (A_{σ^{−1}} ∘ λ) = (A_{σ}A_{σ^{−1}}) ∘ λ, also A_{σ}A_{σ^{−1}} − 1 ∈ ann_{R}(λ) = RM. □

Unser Ziel ist, zu zeigen, daß wie im klassischen Fall G_{M} ≃ (R/RM)^{∗}, also [K_{M} : K] = ϕ(M) ist. Hierfür beweisen wir zunächst zwei Lemmata.

8.3 Lemma. Sei L := K_{M}, λ ∈ Λ_{M}^{∗}, P ∈ R normiert, irreduzibel mit P |/ M und v := v_{P}, dann gilt:

(a) D_{L/K}(λ) ∈ R \ P R.

(b) R_{v}[λ] ist der ganze Abschluß des Bewertungsrings R_{v} in L.

(c) v ist unverzweigt in L/K.

Beweis. (a) λ ist ganz über R nach 7.1. Sei Φ ∈ R[u] das Minimalpolynom von λ über K und m := grad Φ = [L : K]. Nach dem Lemma von Gauß existiert ein Ψ ∈ R[u] mit M ∘ u = ΦΨ. Nach 7.1 und 1.4(a) gilt damit

M^{m} = N_{L/K}((M ∘ u)′(λ)) = N_{L/K}(Φ′(λ))N_{L/K}(Ψ(λ)).

Wegen N_{L/K}(Φ′(λ)), N_{L/K}(Ψ(λ)) ∈ R folgt P |/ N_{L/K}(Φ′(λ)), also mithilfe von 1.25 die Behauptung.

(b)–(c) Nach (a) und 1.26.

□

8.4 Lemma. Sei M = P^{n} mit P ∈ R normiert, irreduzibel und n ∈ ℕ, w eine Fortsetzung von v := v_{P} nach L := K_{M} und λ ∈ Λ_{M}^{∗}. Dann ist w(λ) = 1 und e_{w/v} = ϕ(M) = [L : K].

Beweis. Sei B der ganze Abschluß von R in L. Es ist M ∘ u = P ∘ (P^{n−1} ∘ u) = (P^{n−1} ∘ u)Φ mit Φ = ∑_{i=0}^{grad P} \left[{P \atop i}\right] (P^{n−1} ∘ u)^{q^{i}−1}. Nach 7.7(b) ist Λ_{M}^{∗} die Nullstellenmenge von Φ, folglich

P = \left[{P \atop 0}\right] = Φ(0) = ± ∏_{μ∈Λ_{M}^{∗}} μ. (∗)

Für A ∈ R gilt u|A ∘ u in R[u], also auch μ|A ∘ μ in R[μ] ⊆ B für alle μ ∈ Λ_{M}. Daher sind die Elemente von Λ_{M}^{∗} zueinander assoziiert in B, und wir können (∗) reduzieren auf

P = ελ^{ϕ(M)} mit ε ∈ B^{∗}.

Wegen w(ε) = 0 ist

ϕ(M)w(λ) = w(P) = e_{w/v} ≤ [L : K].

Zusammen mit 8.2 folgt die Behauptung. □

8.5 Satz.

(a) [K_{M} : K] = ϕ(M).

(b) Die Abbildung

(R/RM)^{∗} → G_{M}
A + RM ↦ σ_{A}

mit σ_{A}(λ) := A ∘ λ für λ ∈ Λ_{M}^{∗} ist wohldefiniert und ein Gruppenisomorphismus.

Beweis. (a) Durch vollständige Induktion nach d := grad M. Für d = 0 ist K = K_{M} und ϕ(M) = 1, also die Behauptung trivial. (Für d = 1 folgt sie aus dem letzten Lemma.) Sei d ≥ 1 und P ∈ R ein normierter, irreduzibler Teiler von M. Wir schreiben M = P^{n}N mit P |/ N ∈ R und n ∈ ℕ. Nach dem letzten Lemma ist v_{P} total verzweigt in K_{P^{n}} und nach 8.3(c) unverzweigt in K_{N}/K, folglich total verzweigt mit Verzweigungsindex 1 in (K_{P^{n}} ∩ K_{N})/K, d. h. nach 1.23(b):

K_{P^{n}} ∩ K_{N} = K. (∗)

Nach 7.5(a) ist Λ_{M} = Λ_{P^{n}}+Λ_{N}, also K_{M} = K_{P^{n}}K_{N}. Daher ist der Gruppenhomomorphismus

Aut(K_{M}/K_{P^{n}}) → Aut(K_{N}/K)
σ ↦ σ|_{K_{N}}

injektiv. Sei H sein Bild, dann ist Fix(K_{N}, H) = K wegen (∗), also H = Aut(K_{N}/K) und [K_{M} : K_{P^{n}}] = [K_{N} : K]. Nach Induktionsvoraussetzung und 7.7(a) folgt nun

[K_{M} : K] = [K_{P^{n}} : K][K_{N} : K] = ϕ(P^{n})ϕ(N) = ϕ(M).

(b) Folgt aus (a) und dem Beweis von 8.2.

□

Wie in der klassischen Theorie können wir ‘Kreisteilungspolynome’ definieren. Es gilt auch die von dort bekannte Rekursionsformel.

8.6 Korollar und Definition.

(a) Φ_{M} := ∏_{λ∈Λ_{M}^{∗}} (u − λ) ∈ R[u] ist irreduzibel in K[u] und heißt M-tes zyklotomisches Polynom über K.

(b) Für P ∈ R normiert, irreduzibel und n ∈ ℕ ist P^{n} ∘ u = (P^{n−1} ∘ u)Φ_{P^{n}} und Φ_{P^{n}} ein Eisensteinpolynom über R bezüglich P.

(c) Ist M normiert, so gilt

M ∘ u = ∏_{N∈R normiert N|M} Φ_{N}.

Beweis. (a) Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗} und Φ ∈ R[u] das Minimalpolynom von λ über K. Nach 8.5(b) ist Λ_{M}^{∗} = {A ∘ λ : A + RM ∈ (R/RM)^{∗}} = {σ(λ) : σ ∈ G_{M}} die Nullstellenmenge von Φ, also Φ = Φ_{M}.

(b) Die erste Aussage folgt aus (a) und 7.7(b). Zum Beweis der zweiten Aussage schreiben wir Φ_{P^{n}} = ∑_{i=0}^{m} F_{i}u^{i} mit m := ϕ(P^{n}) und F_{i} ∈ R. Nach 8.4 gilt für die Fortsetzung w von v_{P} nach K_{P^{n}}:

w(λ) = 1 ∀λ ∈ Λ_{P^{n}}^{∗}.

Nach Definition von Φ_{P^{n}} folgt w(F_{i}) > 0, also P |F_{i} für 0 ≤ i < m, und nach der ersten Aussage und 7.1 ist F_{0} = P.

(c) Folgt aus 7.7(c).

□

Von wesentlicher Bedeutung für die nächsten Abschnitte ist noch ein Zwischenkörper von K_{M}/K, der dem maximalen reellen Teilkörper in der klassischen Theorie entspricht.

8.7 Definition. Sei M ∈ R \ k. Nach 8.5(b) können wir dann k^{∗} als Teilmenge von G_{M} auffassen. Wir wollen K_{M}^{+} := Fix(K_{M}, k^{∗}) als den reellen Teilkörper von K_{M} bezeichnen.

Die Übereinstimmung in der Schreibweise mit dem in Abschnitt 2 eingeführten Trägheitskörper ist nicht ganz zufällig. Man kann sich in der Tat mithilfe der Ergebnisse des folgenden Abschnitts 9 leicht überlegen, daß K_{M}^{+} der Trägheits- (und Zerlegungs)körper der Gradbewertung v_{∞} in K_{M}/K ist (vgl. [GR1, p. 366]).

8.8 Lemma. Sei M ∈ R \ k und λ ∈ Λ_{M}^{∗}. Es gilt:

(a) [K_{M} : K_{M}^{+}] = q − 1.

(b) K_{M}^{+} = K(λ^{q−1}).

(c) Ist z ∈ K_{M}^{∗} mit σ(z)/z ∈ K_{M}^{+} für alle σ ∈ Aut(K_{M}/K_{M}^{+}), so hat z eine (eindeutige) Darstellung

z = z^{+}λ^{i}

mit z^{+} ∈ K_{M}^{+} und 0 ≤ i < q − 1.

Beweis. (a) Nach Galoistheorie.

(b) Wegen σ_{α}(λ^{q−1}) = (αλ)^{q−1} = λ^{q−1} für alle α ∈ k^{∗} ist λ^{q−1} ∈ K_{M}^{+}, also

K(λ^{q−1}) ⊆ K_{M}^{+}.

Andererseits ist K_{M} = K(λ^{q−1})(λ) und λ Nullstelle von u^{q−1} − λ^{q−1} ∈ K(λ^{q−1})[u], damit

[K_{M} : K(λ^{q−1})] ≤ q − 1.

Also ist K_{M}^{+} = K(λ^{q−1}) nach (a).

(c) Sei α ∈ k mit k^{∗} = ⟨α⟩ und σ := σ_{α}. Nach Voraussetzung ist ε := σ(z)/z ∈ K_{M}^{+}. Gemäß (a) und (b) hat z eine eindeutige Darstellung z = ∑_{i=0}^{q−2} y_{i}λ^{i} mit y_{0}, …, y_{q−2} ∈ K_{M}^{+}, und wir erhalten wegen σ(λ) = αλ:

∑_{i=0}^{q−2} εy_{i}λ^{i} = εz = σ(z) = ∑_{i=0}^{q−2} y_{i}σ(λ^{i}) = ∑_{i=0}^{q−2} α^{i}y_{i}λ^{i}.

Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich für 0 ≤ i < q − 1:

ε = α^{i} oder y_{i} = 0.

Nach Wahl von α muß y_{i} = 0 für alle bis auf ein i sein.

□

8.9 Beispiel. Ist M ein normiertes, lineares Polynom, so ist Φ_{M} = u^{q−1} + M, also sowohl K_{M}^{+} = K als auch K_{M} = K( ^{q−1} \sqrt{−M}) = k( ^{q−1} \sqrt{−M}) ein rationaler Funktionenkörper.

9 Die Bewertungen

Sei weiterhin 0 ≠ M ∈ R. Wir wollen in diesem Abschnitt das Fortsetzungsverhalten der Bewertungen von K nach K_{M} untersuchen. Für die endlichen Stellen haben wir den folgenden, aus der klassischen Theorie vertrauten Sachverhalt (vgl. [Nk, p. 64]).

9.1 Satz. Sei P ∈ R normiert, irreduzibel und w eine Fortsetzung von v := v_{P} nach K_{M}. Schreiben wir M = P^{n}N mit n ∈ ℕ_{0} und P |/ N, so ist e_{w/v} = ϕ(P^{n}) und f_{w/v} die Ordnung von P + RN in (R/RN)^{∗}.

Beweis. Sei v′ die Fortsetzung von v nach K_{N} mit w/v′. Nach 8.3(c), 8.4 und Beweis von 8.5 ist

e_{w/v} = e_{w/v′} = [K_{P^{n}} : K] = ϕ(P^{n}) = [K_{M} : K_{N}].

und

f_{w/v} = f_{v′/v}.

Sei σ ∈ G_{N} der Artinautomorphismus von v in K_{N}/K gemäß 2.6, dann ist f_{v′/v} = # ⟨σ⟩, und nach 8.5(b) ist nur noch σ = σ_{P} zu zeigen. Sei d := grad P, also #k_{v} = q^{d}, und ν ∈ Λ_{N}^{∗}. Nach Definition ist σ(ν) − ν^{q^{d}} ∈ P_{v′} und nach 8.6(b) ebenfalls P ∘ ν − ν^{q^{d}} ∈ P_{v′}, daher

σ(ν) − P ∘ ν ∈ P_{v′}.

Wegen N ∘ u = ∏_{μ∈Λ_{N}} (u − μ) und P |/ N gilt andererseits

∏_{{μ∈Λ_{N} \atop μ≠σ(ν)}}(σ(ν) − μ) = (N ∘ u)′(σ(ν)) = N ∉ P_{v′}.

Daher muß σ_{P} (ν) = P ∘ ν = σ(ν) sein. □

9.2 Bemerkung.

(a) Mit den Bezeichnungen des Satzes gilt N|P^{f_{w/v}} − 1, also

f_{w} = grad (P^{f_{w/v}} − 1) ≥ grad N.

(Außerdem ist noch f_{w/v}|ϕ(N) zu beachten.) Ist insbesondere M irreduzibel, so hat K_{M} außer den Fortsetzungen der Gradbewertung v_{∞} (die sich als rationale Punkte von K_{M} herausstellen werden) keine Bewertung vom Grad < grad M.

(b) Im Fall q = 2 läßt sich (a) noch verschärfen. Ist nämlich N(0) = N(1) = 1, so gilt für nicht-lineares P wegen x^{2} + x|P^{f_{w/v}} − 1 sogar

f_{w} ≥ grad N + 2.

Insbesondere ist für irreduzibles M vom Grad d ≥ 2 die Fortsetzung von v_{M} nach K_{M} die einzige Bewertung von K_{M} vom Grad d. Gilt überdies d + 1 |/ 2^{d} − 1, so hat K_{M} keine Bewertung vom Grad d + 1.

Auch der Ring der über R ganzen Funktionen von K_{M} bzw. K_{M}^{+} hat die von den klassischen Kreisteilungskörpern her zu erwartende Form (vgl. [Wh, pp. 11, 16]).

9.3 Satz. Sei M ∈ R \ k, P ∈ R normiert, irreduzibel, v := v_{P}, B_{v} bzw. B der ganze Abschluß von R_{v} bzw. R in K_{M} und B_{v}^{+} bzw. B^{+} der ganze Abschluß von R_{v} bzw. R in K_{M}^{+}. Für λ ∈ Λ_{M}^{∗} und λ^{+} := λ^{q−1} gilt:

(a) B_{v} = R_{v}[λ].

(b) B = R[λ].

(c) B_{v}^{+} = R_{v}[λ^{+}].

(d) B^{+} = R[λ^{+}].

Beweis. (a) Wir schreiben wieder M = P^{n}N mit n ∈ ℕ_{0} und P |/ N. Seien v_{1}, …, v_{r} die Fortsetzungen von v nach K_{N}. Aus dem Beweis des vorangegangenen Satzes geht hervor, daß v_{i} total verzweigt in K_{M}/K_{N} ist. Sei also w_{i} die Fortsetzung von v_{i} nach K_{M} und w die Fortsetzung von v nach K_{P^{n}}, dann ist

e_{w_{i}/v_{i}} = m := ϕ(P^{n}) = [K_{M} : K_{N}] (1)

und

e_{w_{i}/w} = 1. (2)

Wir wählen π ∈ Λ_{P^{n}}^{∗} und ν ∈ Λ_{N}^{∗}. Nach 8.3(b) ist A_{v} := R_{v}[ν] der ganze Abschluß von R_{v} in K_{N}. Wegen λ ∈ Λ_{M} = Λ_{P^{n}} + Λ_{N} ⊆ R[π, ν] ⊆ R[λ] gilt weiter:

A_{v}[π] = R_{v}[π, ν] = R_{v}[λ] (3) und

K_{N}(π) = K(π, ν) = K(λ) = K_{M}. (4)

Sei z ∈ K_{M} ganz über R_{v}. Wegen (4) und (1) können wir z = ∑_{j=0}^{m−1} a_{j}π^{j} mit a_{j} ∈ K_{N} schreiben. Da w_{i}(π) = w(π) = 1 nach (2) und 8.4 sowie w_{i}(a_{j}) = mv_{i}(a_{j}) ∈ mℤ für 0 ≤ j < m aufgrund von (1) gilt, ist

0 ≤ w_{i}(z) = min{w_{i}(a_{j}π^{j}) : 0 ≤ j < m}

nach 1.13(c), also 0 ≤ w_{i}(a_{j}) = mv_{i}(a_{j}) für 0 ≤ j < m. Somit haben wir a_{j} ∈ ⋂_{i=1}^{r} R_{v_{i}} = A_{v} für 0 ≤ j < m, also (3) zufolge z ∈ A_{v}[π] = R_{v}[λ] gezeigt.

(b) Für z ∈ K_{M} gilt nach 4.3(d) und (a):

z ∈ B ⟺ z ganz über R = ⋂_{v≠v_{∞}} R_{v} ⟺ z ∈ ⋂_{v≠v_{∞}} R_{v}[λ] = R[λ].

(c) Sei z ∈ K_{M}^{+}. Nach 8.8(b) können wir z = ∑_{j} a_{j}(λ^{+})^{j} mit a_{j} ∈ K schreiben, und nach (a) gilt

z ∈ B_{v}^{+} ⟺ z ∈ B_{v} ⟺ ∀j : a_{j} ∈ R_{v}.

(d) Geht wie (c).

□

Es bleibt noch die Gradbewertung v_{∞} bezüglich x von K zu untersuchen. Der folgende Satz verallgemeinert [Ha, Theorem 3.2] für ein beliebiges Polynom M ∈ R \ k und berücksichtigt zugleich den reellen Teilkörper. Der Beweis ist unter stärkerer Ausnutzung des Newtonpolygonverfahrens gegenüber dem von Hayes angegebenen wesentlich vereinfacht (vgl. [Ha, pp. 83–85]).

9.4 Satz. Sei M ∈ R \ k und w bzw. w^{+} eine Fortsetzung von v := v_{∞} nach L := K_{M} bzw. L^{+} := K_{M}^{+} mit w/w^{+}. Dann gilt

(a) e_{w^{+}/v} = f_{w^{+}/v} = 1, d. h. v ist total zerlegt in L^{+}/K, und

(b) e_{w/w^{+}} = q − 1 = [L : L^{+}], d. h. w^{+} ist total verzweigt in L/L^{+}.

Beweis. Sei K̂ bzw. L̂ bzw. L̂^{+} die Komplettierung von K bzw. L bzw. L^{+} nach v bzw. w bzw. w^{+} und seien v̂ und ŵ die kanonischen Fortsetzungen gemäß 3.8.

(a) Für N ∈ R \ \{0\} setzen wir Ψ_{N} := ∑_{i=0}^{grad N} \left[{N \atop i}\right] u^{\frac{q^{i}−1}{q−1}} . Damit ist N ∘ u = uΨ_{N}(u^{q−1}), also

Ω_{N} = {λ^{q−1} : 0 ≠ λ ∈ Λ_{N}} (∗)

die Nullstellenmenge von Ψ_{N}. Sei d := grad M. Nach 7.1 und 3.12 ist

Π(Ψ_{M}) = \{(\frac{q^{i} − 1}{q − 1}, −(d − i)q^{i}) : 0 ≤ i ≤ d\}

das Newtonpolygon von Ψ_{M}, und

γ_{i} := \frac{(d − i + 1)q^{i−1} − (d − i)q^{i}}{q^{i−1}} = 1 − (d − i)(q − 1), 1 ≤ i ≤ d,

sind die Steigungen seiner Kanten, da diese streng monoton zunehmen. Aus 3.13 ergibt sich, daß Ψ_{M} eine Nullstelle λ^{+} in K̂ hat mit

v̂(λ^{+}) = −γ_{1} = (d − 1)(q − 1) − 1.

Nach (∗) existiert ein λ ∈ Λ_{M} mit λ^{+} = λ^{q−1}. Für N ∈ R mit grad N < d haben alle Nullstellen ν ∈ K̂ von Ψ_{N} nach den gleichen Überlegungen wie für Ψ_{M} Bewertung v̂(ν) ≤ (grad N − 1)(q − 1) − 1 < v̂(λ^{+}). Daher ist λ^{+} ∉ Ω_{N}, also λ ∉ Λ_{N} für alle echten Teiler N von M. Mit 7.7(c) folgt λ ∈ Λ_{M}^{∗} und mit 8.8(b) dann L^{+} = K(λ^{+}). Nach 3.10(b) muß also L̂^{+} = K̂ sein, woraus nach 3.10(a) und 1.23(b) die Behauptung folgt.

(b) Nach (a) und 3.10(a) ist e_{ŵ/v̂} = e_{w/w^{+}}. Mit λ und λ^{+} wie in (a) ist daher (q − 1)ŵ(λ) = e_{w/w^{+}} v̂(λ^{+}). Wegen ggT(q − 1, v̂(λ^{+})) = 1 muß q − 1|e_{w/w^{+}} gelten, also

q − 1 ≤ e_{w/w^{+}} ≤ [L : L^{+}] = q − 1.
□

9.5 Korollar. k ist der Konstantenkörper von K_{M}/k.

Beweis. Folgt nach 4.7(c) direkt aus dem vorhergehenden Satz. □

Für irreduzibles M läßt sich ein Beweis von 9.4 ohne Komplettierungsmethoden angeben. Er ist jedoch etwas technisch und wird den Rest dieses Abschnitts füllen. Wir benötigen zwei Lemmata. Durch Verschärfung der Abschätzungen bei [GR1, p. 372] gelangt man zu der folgenden Aussage.

9.6 Lemma. Sei M ∈ R \ k, S^{+} die Menge der Fortsetzungen von v := v_{∞} nach K_{M}^{+}, λ ∈ Λ_{M}^{∗} und λ^{+} := λ^{q−1}. Für w^{+} ∈ S^{+} gilt entweder w^{+}(λ^{+}) ≥ 0 oder w^{+}(λ^{+}) = −e_{w^{+}/v}.

Beweis. Sei o. B. d. A. M normiert. Wir setzen e := e_{w^{+}/v} und d := grad M. Für d = 1 ist M ∘ u = u^{q} + Mu, also λ^{+} = −M und damit w^{+}(λ^{+}) = −e. Sei also von nun an d ≥ 2. Aus

7.1 ergibt sich 0 = ∑_{i=0}^{d} \left[{M \atop i}\right] λ^{q^{i}−1}. Nach Division durch x^{\frac{q^{d}−1}{q−1}} erhält man

0 = ∑_{i=0}^{d} F_{i} · (λ^{+}/x)^{\frac{q^{i}−1}{q−1}} (1)

mit F_{i} = x^{− \frac{q^{d}−q^{i}}{q−1}} \left[{M \atop i}\right], also F_{d} = 1,

(2)  v(F_{i}) = \frac{q^{d} − q^{i}}{q − 1} − q^{i}(d − i) = q^{i} [\frac{q^{d−i} − 1}{q − 1} − d + i] ≥ 0, speziell
(3) v(F_{d−1}) = 0 und
(4) v(F_{d−2}) = q^{d−2}(q − 1).

Aus (1) und (2) folgt außerdem, daß λ^{+}/x ganz über R_{v} ist, daher

w^{+}(λ^{+}/x) ≥ 0. (5)

Weiter gilt für 0 ≤ i < d:

v(F_{i}) − v(F_{i+1}) = q^{i} [\frac{q^{d−i} − 1}{q − 1} − d + i] − q^{i+1} [\frac{q^{d−i−1} − 1}{q − 1} − d + i + 1]
= q^{i} [\frac{q^{d−i} − 1}{q − 1} − \frac{q^{d−i} − q}{q − 1} + (q − 1)(d − i) − q]
= q^{i}(q − 1)(d − i − 1) ≥ 0,

also v(F_{i}) ≥ v(F_{i+1}). (6) Wir unterscheiden nun zwei Fälle.

(a) d = 2 oder q > 2: Aus (1) ergibt sich

− [(λ^{+}/x)^{q^{d−1}} + F_{d−1}] (λ^{+}/x)^{\frac{q^{d−1}−1}{q−1}} = ∑_{i=0}^{d−2} F_{i} · (λ^{+}/x)^{\frac{q^{i}−1}{q−1}} ,

also nach (5), (6) und (4)

w^{+} ((λ^{+}/x)^{q^{d−1}} + F_{d−1}) + \frac{q^{d−1} − 1}{q − 1}w^{+}(λ^{+}/x)

≥ min\{w^{+}(F_{i}) + \frac{q^{i} − 1}{q − 1}w^{+}(λ^{+}/x) : 0 ≤ i ≤ d − 2\}
≥ min{w^{+}(F_{i}) : 0 ≤ i ≤ d − 2}
= q^{d−2}(q − 1)e.

Mit (3) und (5) folgt, daß w^{+}(λ^{+}/x) = 0 oder

w^{+}(λ^{+}/x) ≥ q^{d−2} \frac{(q − 1)^{2}}{q^{d−1} − 1}e = [q − 2 + \frac{q^{d−2} + q − 2}{q^{d−1} − 1}] e ≥ e

ist, und somit haben wir w^{+}(λ^{+}) = −e oder w^{+}(λ^{+}) ≥ 0.

(b) d > 2 und q = 2: Wir zerlegen (1) in

[(λ^{+}/x)^{2^{d}−2^{d−2}} + F_{d−1} · (λ^{+}/x)^{2^{d−2}} + F_{d−2}] (λ^{+}/x)^{2^{d−2}−1} = ∑_{i=0}^{d−3} F_{i} · (λ^{+}/x)^{q^{i}−1}.

Wie oben folgt mithilfe von (5), (6) und (2):

w^{+} ((λ^{+}/x)^{3·2^{d−2}} + F_{d−1} · (λ^{+}/x)^{2^{d−2}} + F_{d−2}) + (2^{d−2} − 1)w^{+}(λ^{+}/x)

(7)  ≥ w(F_{d−3})
= 2^{d−1}e.

Nach (3) und (4) folgt aus 0 < w^{+}(λ^{+}/x) < e, daß

w^{+} (F_{d−1} · (λ^{+}/x)^{2^{d−2}}) < min {w^{+} ((λ^{+}/x)^{3·2^{d−2}}) , w^{+}(F_{d−2})} , also mit (7), daß 2^{d−2}w^{+}(λ^{+}/x)+(2^{d−2}−1)w^{+}(λ^{+}/x) ≥ 2^{d−1}e ist, und daraus w^{+}(λ^{+}/x) > e, ein Widerspruch. Daher ist w^{+}(λ^{+}/x) = 0 oder w^{+}(λ^{+}/x) ≥ e, woraus wie im Fall (a) die Behauptung folgt.

□

Das zweite unserer beiden Lemmata, das sich bei [GR2, p. 367] wiederfindet, beruht auf der Idee, K_{M} als Erweiterung des rationalen Funktionenkörpers k(λ) für λ ∈ Λ_{M}^{∗} aufzufassen. Wir führen die Überlegungen hier zusätzlich parallel für den reellen Teilkörper K_{M}^{+} durch.

9.7 Lemma. Sei M = P^{n} mit irreduziblem P ∈ R und n ∈ ℕ, d := grad P, λ ∈ Λ_{M}^{∗} und λ^{+} := λ^{q−1}. Dann ist

[K_{M} : k(λ)] = [K_{M}^{+} : k(λ^{+})] = \{ \begin{matrix}q^{d−1} & falls n = 1 \\ q^{(n−1)d−1}(q^{d} − 1) & falls n ≥ 2. \end{matrix}

Beweis. Φ_{M} ist irreduzibel in K[u] und normiert in u, also irreduzibel in R[u] = k[u][x]. Außerdem ist Φ_{M} ∉ k[u], also irreduzibel in k(u)[x]. Gleiches gilt für das Minimalpolynom Φ_{M}^{+} von λ^{+} über K. Wegen Φ_{M} = Φ_{M}^{+}(u^{q−1}) ist daher

[K_{M} : k(λ)] = grad_{x} Φ_{M} = grad_{x} Φ_{M}^{+} = [K_{M}^{+} : k(λ^{+})].

Nach 7.1 ist grad_{x} (P^{m} ∘ u) = grad_{x} \left[{P^{m} \atop md−1}\right] = q^{md−1} für alle m ∈ ℕ. Mithilfe von 8.6(b) erhalten wir hieraus

grad_{x} Φ_{P} = grad_{x} (P ∘ u) = q^{d−1}

und

grad_{x} Φ_{P^{n}} = grad_{x} (P^{n} ∘ u) − grad_{x} (P^{n−1} ∘ u) = q^{(n−1)d−1}(q^{d} − 1)

für n ≥ 2. □

Durch Kombination der beiden Lemmata erhalten wir wie versprochen den weiteren

Beweis von 9.4 für irreduzibles M. Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗}, λ^{+} := λ^{q−1} und S^{+} die Menge der Fortsetzungen von v nach L^{+}. Nach 8.4 und 4.7(c) ist k der Konstantenkörper von L^{+}/k.

(a) Wir setzen d := grad M, e := e_{w^{+}/v} und f := f_{w^{+}/v}. Da λ ganz über R ist, ist

(λ^{+})_{−} = ∑_{{v^{+}∈S^{+} \atop v^{+}(λ^{+})=−e}} e 𝔭_{v^{+}}

nach 9.6 der Polstellendivisor von λ^{+} in L^{+}. Mit 4.15 und 9.7 folgt

ef#{v^{+} ∈ S^{+} : v^{+}(λ^{+}) = −e} = grad (λ^{+})_{−} = [L^{+} : k(λ^{+})] = q^{d−1}.

Daher ist ef eine Potenz von p := char(k). Da andererseits

ef#S^{+} = [L^{+} : K] = \frac{q^{d} − 1}{q − 1} ≡ 1 (mod p)

gilt, folgt ef = 1. An dem vorangehenden Lemma läßt sich ebenfalls erkennen, warum sich dieser Beweis nicht auf den Fall M = P^{n} mit irreduziblem P ∈ R und n ≥ 2 übertragen läßt.

(b) Nach Teil (a) des Beweises existiert ein w̃^{+} ∈ S^{+} mit

w̃^{+}(λ^{+}) = −1.

Für eine Fortsetzung w̃ von w̃^{+} nach L ist

(q − 1)w̃(λ) = e_{w̃/w̃^{+}}w̃^{+}(λ^{+}) = −e_{w̃/w̃^{+}},

also (q − 1) ≤ e_{w̃/w̃^{+}} ≤ [L : L^{+}] = q − 1, woraus nach 2.2(a) die Behauptung folgt.

□

10 Das Geschlecht

Wir wollen nun die von [Ha, p. 85] für K_{P^{n}} mit irreduziblem P ∈ R angegebene Geschlechtsformel auf beliebige zyklotomische Funktionenkörper K_{M} und ihre reellen Teilkörper erweitern. Abschließend werden wir uns in diesem Abschnitt dann mit dem asymptotischen Verhalten der Geschlechter für grad M → ∞ befassen und damit die asymptotische Untersuchung der Klassenzahlen vorbereiten. Fortan sei M ∈ R \ k normiert. Wir schreiben

M = ∏_{i=1}^{r} P_{i}^{n_{i}}

mit r, n_{i} ∈ ℕ und verschiedenen normierten, irreduziblen P_{i} ∈ R und setzen f_{i} := grad P_{i}, m_{i} := ϕ(P_{i}) = q^{f_{i}} − 1, m := ϕ(M) = ∏_{i=1}^{r} q^{(n_{i}−1)f_{i}}m_{i} sowie d := grad M = ∑_{i=1}^{r} n_{i}f_{i}. Desweiteren bezeichne g bzw. g^{+} das Geschlecht von L := K_{M} bzw. L^{+} := K_{M}^{+}. All diese Bezeichnungen sollen bis zum Schluß der Arbeit gelten. Zunächst müssen wir Diskriminanten berechnen.

10.1 Lemma. Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗} und λ^{+} := λ^{q−1}.

(a) Für r = 1 ist Φ_{M}(0) = P_{1}.

(b) Ist r ≥ 2, so ist Φ_{M}(0) = 1 und λ^{−1} ganz über R.

(c) λ hat Diskriminante

D_{L/K}(λ) = ± ∏_{i=1}^{r} P_{i}^{n_{i}m−m/m_{i}}.

(d) Ist r ≥ 2, so ist

D_{L^{+}/K}(λ^{+}) = α ∏_{i=1}^{r} P \frac{n_{i}m−m/m_{i}}{q−1} ; i

mit α ∈ k^{∗}.

Beweis. (a) Wie im Beweis von 8.6(b).

(b) Folgt mithilfe von (a) und 8.6(c) durch Induktion nach d (Die Induktionsvoraussetzung geht beim dritten Gleichheitszeichen ein.):

M = (\frac{M ∘ u}{u}) (0) = ∏_{N∈R normiert 1≠N|M} Φ_{N}(0) = Φ_{M}(0) ∏_{i=1}^{r} ∏_{l_{i}=1}^{n_{i}} Φ_{P_{i}^{l_{i}}} (0) = Φ_{M}(0)M.

Ferner ist λ^{−1} als Nullstelle von u^{m}Φ_{M}(u^{−1}) ∈ R[u] ganz über R.

(c) Für 1 ≤ i ≤ r setzen wir M_{i} := M/P_{i}, N_{i} := M/P_{i}^{n_{i}} und L_{i} := K_{P_{i}^{n_{i}}}. Nach Definition von Φ_{M} ist M ∘ u = Φ_{M}Ψ mit

Ψ = ∏_{μ∈Λ_{M} \Λ_{M}^{∗}}(u − μ) ∈ R[u].

Mithilfe der Kettenregel und 1.26 folgt

M^{m} = N_{L/K}(Φ′_{M}(λ)Ψ(λ)) = ±D_{L/K}(λ) ∏_{μ∈Λ_{M} \Λ_{M}^{∗}} N_{L/K}(λ − μ). (1)

Für μ ∈ Λ_{M} gilt nach (b)

λ − μ ∈ ⋃_{i=1}^{r} Λ_{P_{i}^{n_{i}}} oder N_{L/K}(λ − μ) = ±1. (2)

Wir betrachten daher μ ∈ Λ_{M} \ Λ_{M}^{∗} mit λ − μ ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}}}, i ∈ {1, …, r} fest. Nach 7.7(c) muß μ ∈ Λ_{M_{j}} sein für ein j ∈ {1, …, r}. Wäre j ≠ i, so wäre P_{i}^{n_{i}} ∘ μ ∈ Λ_{N_{i}/P_{j}} ⊊ Λ_{N_{i}}, im Widerspruch dazu, daß P_{i}^{n_{i}} ∘ μ = P_{i}^{n_{i}} ∘ λ ∈ Λ_{N_{i}}^{∗} ist nach 7.4(b). Also ist μ ∈ Λ_{M_{i}}. (3) Außerdem muß schon λ − μ ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}}}^{∗} (4) gelten, denn aus λ − μ ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}−1}} würde P_{i}^{n_{i}−1} ∘ μ = P_{i}^{n_{i}−1} ∘ λ ∈ Λ_{N_{i}P_{i}}^{∗} folgen, im Widerspruch zu P_{i}^{n_{i}−1} ∘ μ ∈ Λ_{N_{i}} ⊊ Λ_{N_{i}P_{i}}. Wir wollen nun s_{i} := #{μ ∈ Λ_{M} \ Λ_{M}^{∗} : λ − μ ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}}} } bestimmen. Nach 7.5(a) gilt Λ_{N_{i}} ∩ Λ_{P_{i}} = 0, (5) also ist die Abbildung

Λ_{N_{i}} → Λ_{N_{i}}
ν ↦ P_{i} ∘ ν

ein Isomorphismus von R-Moduln. Wir können demnach ein ν ∈ Λ_{N_{i}} finden, so daß P_{i} ∘ ν = P_{i}^{n_{i}} ∘ λ ist. Für μ ∈ Λ_{M} \ Λ_{M}^{∗} haben wir damit wegen (3) und (5)

λ − μ ∈ Λ_{P_{i}^{n_{i}}} ⟺ P_{i} ∘ (P_{i}^{n_{i}−1} ∘ μ − ν) = 0 ⟺ P_{i}^{n_{i}−1} ∘ μ = ν. Nach 7.4(a) ist Λ_{P_{i}^{n_{i}−1}} der Kern bei Λ_{M_{i}} → Λ_{N_{i}}, μ ↦ P_{i}^{n_{i}−1} ∘ μ. Daher ist

s_{i} = #Λ_{P_{i}^{n_{i}−1}} = ϕ(P_{i}^{n_{i}})/m_{i}. Mit (2), (4) und (a) folgt

∏_{μ∈Λ_{M} \Λ_{M}^{∗}} N_{L/K}(λ − μ) = ± ∏_{i=1}^{r} (Φ_{P_{i}^{n_{i}}} (0))^{s_{i}[L:L_{i}]} = ± ∏_{i=1}^{r} P_{i}^{m/m_{i}},

und man erhält die Behauptung durch Einsetzen in (1).

(d) Sei Φ_{M}^{+} das Minimalpolynom von λ^{+} über K. Es ist Φ_{M} = Φ_{M}^{+}(u^{q−1}), also nach Kettenregel

Φ′_{M} = −u^{q−2}(Φ_{M}^{+})′(u^{q−1}).

Mit 1.26 und (b) folgt

D_{L/K}(λ) = ±N_{L/K}(Φ′_{M}(λ))
= ±(N_{L/K}(λ))^{q−2}N_{L/K}((Φ_{M}^{+})′(λ^{+}))
= ±(Φ_{M}(0))^{q−2}(N_{L^{+}/K}((Φ_{M}^{+})′(λ^{+})))^{q−1}
= ±(D_{L^{+}/K}(λ^{+}))^{q−1}.

Da R faktoriell ist, ergibt sich hieraus und aus (c) die Behauptung.

□

Wir können nun die allgemeinen Geschlechtsformeln für zyklotomische Funktionenkörper und ihre reellen Teilkörper hinschreiben.

10.2 Satz. Für die Geschlechter gelten die Formeln:

(a) 2g − 2 = (d − 2)m + (q − 2)\frac{m}{q−1} − ∑_{i=1}^{r} \frac{m}{m_{i}} f_{i}.

(b) Für r = 1 ist 2g − 2 = (q − 1)(2g^{+} − 2) + (q − 2)(\frac{m}{q−1} + f_{1}).

(c) Für r ≥ 2 ist 2g − 2 = (q − 1)(2g^{+} − 2) + (q − 2)\frac{m}{q−1}.

Beweis. Sei v_{∞} die Gradbewertung von K bezüglich x und v_{i} := v_{P_{i}}. Nach 4.3(b) ist f_{v_{i}} = f_{i}.

(a) Wir berechnen die in 5.1(a) eingeführten Zahlen d_{L,v} für v ∈ V (K/k). Nach 9.3(a) und 10.1(c) ist

d_{L,v_{i}} = v_{i}(D_{L/K}(λ)) = n_{i}m − m/m_{i},

und nach 5.5(b) und 9.4 gilt

d_{L,v_{∞}} = ∑_{w/v_{∞}}(e_{w/v_{∞}} − 1)f_{w/v_{∞}} = (q − 2)\frac{m}{q − 1}.

Für v ≠ v_{i}, v_{∞} ist offenbar d_{L,v} = 0. Einsetzen in 5.2 ergibt

2g − 2 = −2m + d_{L,v_{∞}}f_{v_{∞}} + ∑_{i=1}^{r} d_{L,v_{i}}f_{i} = −2m + (q − 2)\frac{m}{q − 1} + dm − ∑_{i=1}^{r} \frac{m}{m_{i}} f_{i}.

(b) Hier wenden wir den Satz von Riemann-Hurwitz auf L/L^{+} an. Nach 8.4 ist v_{1} total verzweigt in L/K, daher gilt für die einzige Fortsetzung w_{1}^{+} von v_{1} nach L^{+}, daß f_{w_{1}^{+}} = f_{1}, und wegen 5.5(b), daß d_{L,w_{1}^{+}} = q − 2 ist. Für die \frac{m}{q−1} Fortsetzungen w^{+}/v_{∞} ist f_{w^{+}} = 1 und d_{L,w^{+}} = q − 2 nach 9.4 und 5.5(b). Wiederum gilt für alle anderen Bewertungen w̃^{+} von L^{+} nach 8.3(c) und 5.5(b), daß d_{L,w̃^{+}} = 0 ist. Die Formel ergibt sich hieraus durch Einsetzen.

(c) Diesmal wenden wir 5.2 auf L^{+}/K an. Nach 9.3(c) und 10.1(d) gilt

d_{L^{+},v_{i}} = v_{i}(D_{L^{+}/K}(λ^{+})) = \frac{n_{i}m − m/m_{i}}{q − 1}

und nach 5.5(b) und 9.4(a):

d_{L^{+},v_{∞}} = 0.

Einsetzen unter Beachtung von (a) ergibt

(q − 1)(2g^{+} − 2) = −2m + ∑_{i=1}^{r}(n_{i}m − m/m_{i})f_{i}

= (d − 2)m − ∑_{i=1}^{r} \frac{m}{m_{i}} f_{i}
= 2g − 2 − (q − 2)\frac{m}{q − 1}.
□

10.3 Korollar. Sei r ≥ 2 und S^{+} die Menge der Fortsetzungen der Gradbewertung v_{∞} von K nach L^{+}. Dann sind alle Bewertungen w^{+} ∉ S^{+} von L^{+} unverzweigt in L/L^{+}.

Beweis. Aus 5.2 ergibt sich wie im Beweis von Teil (b) des vorigen Satzes

2g − 2 = (q − 1)(2g^{+} − 2) + (q − 2)\frac{m}{q − 1} + ∑_{w^{+}∉S^{+}} d_{L,w^{+}}f_{w^{+}}.

Bei Vergleich mit 10.2(c) erkennt man, daß d_{L,w^{+}} = 0 sein muß für alle w^{+} ∉ S^{+}, woraus mit 5.5(a) die Behauptung folgt. □

10.4 Korollar. Für normiertes, irreduzibles P ∈ R schreiben wir wieder M = P^{n}N mit n ∈ ℕ_{0} und P |/ N. Ist N ≠ 1 und w^{+} eine Fortsetzung von v := v_{P} nach L^{+}, so gilt e_{w^{+}/v} = ϕ(P^{n}), und f_{w^{+}/v} ist die Ordnung von (P + RN)k^{∗} in (R/RN)^{∗}/k^{∗}.

Beweis. Nach dem Beweis von 9.1 ist σ_{P} ∈ G_{N} der Artinautomorphismus von v in K_{N}/K, also ist σ_{P} |_{K_{N}^{+}} der Artinautomorphismus von v in K_{N}^{+}/K, und die Behauptung folgt mit 10.3 und 8.3(c). □

Aus den Geschlechtsformeln 10.2 läßt sich wegen 4.20(a) leicht ablesen, wann ein zyklotomischer Funktionenkörper bzw. sein reeller Teilkörper ein rationaler Funktionenkörper k(z) ist. Die konkrete Bestimmung eines geeigneten z wäre eventuell etwas schwieriger.

10.5 Beispiele. Wir wollen sämtliche Polynome M bestimmen, für die L bzw. L^{+} ein rationaler Funktionenkörper wird. Für solche Polynome muß nach 9.4

m ≤ q^{2} − 1 (∗)

sein. Andererseits ist offenbar (q − 1)^{d} ≤ m, wobei das Gleichheitszeichen nur für r = d eintritt. Aus d ≥ 3 und (∗) folgt (q − 1)^{3} < q^{2} − 1, d. h. q < 3 im Fall r < d, und q ≤ 3 im Fall r = d. Wegen 8.9 sind daher nur noch die Fälle

(a) d = 2,

(b) r = d = 3 = q und

(c) q = 2, d ≥ 3 zu prüfen.

(a) Für d = 2 sind drei verschiedene Formen von M zu unterscheiden. Durch Einsetzen in 10.2(a) ergibt sich

• g = (q − 2)(q − 3)/2 für r = 2 (M zerfällt in zwei verschiedene Linearfaktoren).

• g = (q − 1)(q − 2)/2 für r = 1, f_{1} = 1 (M ist das Quadrat eines linearen Polynoms).

• g = (q + 1)(q − 2)/2 für r = 1, f_{1} = 2 (M ist irreduzibel).

In allen drei Fällen ist g^{+} = 0 (nachrechnen).

(b) Für r = d = 3 = q ist g = 1 und g^{+} = 0.

(c) Unter Beachtung von (∗) bleiben bei q = 2, d ≥ 3 nur noch die Fälle

M ∈ {x(x^{2} + x + 1), (x + 1)(x^{2} + x + 1), x^{2}(x + 1), x(x + 1)^{2}, x(x + 1)(x^{2} + x + 1)}

übrig, für die sämtlich g = g^{+} = 0 ist.

Beispiel. Es sei P ∈ R ein lineares Polynom mit P |/ M und M̃ := P M. Desweiteren bezeichne g̃ bzw. g̃^{+} das Geschlecht von L̃ := KM̃ bzw. L̃^{+} := K+ ; M̃. Offenbar ist [L̃ : L] = q − 1 = [L̃ : L̃^{+}], und nach 10.2(a) und (c) haben wir für die Geschlechter

(q − 1)(2g̃^{+} − 2) + (q − 2)m
= 2g̃ − 2
= (d − 1)(q − 1)m + (q − 2)m − ∑_{i=1}^{r} \frac{(q − 1)m}{m_{i}}f_{i} − m
= (q − 1)(2g − 2) + (q − 1)m − m,

also g = g̃^{+}. Trotzdem ist L ≠ L̃^{+} für q ≠ 2, denn jede Fortsetzung von v_{P} nach L ist nach dem Beweis von 9.1 total verzweigt in L̃/L, während die Fortsetzungen von v_{P} nach L̃^{+} wegen 10.3 in L̃/L̃^{+} unverzweigt sind.

Wir wollen nun noch das asymptotische Verhalten der Geschlechter für d = grad M → ∞ untersuchen. Dafür führen wir zunächst die folgenden Notationen ein. Für von M abhängige Zahlen F, G ∈ ℂ schreiben wir

• F ≺ G (in Worten: F ist von kleinerer Ordnung als G), falls zu jedem ε > 0 ein d_{0} ∈ ℕ existiert, so daß d ≥ d_{0} stets |F | < ε|G| impliziert.

• F ∼ G (in Worten: F ist asymptotisch gleich G), falls zu jedem ε > 0 ein d_{1} ∈ ℕ existiert, so daß d ≥ d_{1} stets |F − G| ≤ ε|F + G| impliziert.

Offenbar ist ≺ transitiv und ∼ eine Äquivalenzrelation. Nehmen wir G ≠ 0 an, so läßt sich F ≺ G bzw. F ∼ G in die bekanntere Form lim_{d→∞} F/G = 0 bzw. lim_{d→∞} F/G = 1 bringen. Desweiteren gelten die Eigenschaften:

• Ist F ∼ G ≺ H oder F ≺ G ∼ H, so gilt F ≺ H.

• Mit F ∼ G hat man auch F H ∼ GH.

• Aus F ≺ G folgt G ∼ F + G.

Wir schätzen zuerst den etwas schwierigen Term in der Geschlechtsformel 10.2 ab.

10.6 Lemma. Es gilt ∑_{i=1}^{r} \frac{f_{i}}{m_{i}} ≤ (1 + log_{q} r)^{2}.

Beweis. Für n ∈ ℕ setzen wir

M_{n} := {N ∈ R normiert : N ≠ 1 und grad N ≤ n},

dann ist offenbar #M_{n} = q^{n} − 1. Wählen wir nun s ∈ ℕ minimal mit s > log_{q} r, so haben

wir #M_{s} ≥ r und s ≤ 1 + log_{q} r. Da außerdem die Folge (\frac{n}{q^{n}−1})_{n∈ℕ} monoton fallend ist, ergibt sich

∑_{i=1}^{r} \frac{f_{i}}{m_{i}} = ∑_{i=1}^{r} \frac{f_{i}}{q^{f_{i}} − 1} ≤ ∑_{N∈M_{s}} \frac{grad N}{q^{grad N} − 1} = ∑_{n=1}^{s}(q^{n} − q^{n−1})\frac{n}{q^{n} − 1} ≤ ∑_{n=1}^{s} n ≤ s^{2}.

□

10.7 Satz. Für die Geschlechter haben wir das asymptotische Verhalten

g ∼ \frac{md}{2} ∼ (q − 1)g^{+}.

Beweis. Nach dem vorigen Lemma ist ∑_{i=1}^{r} \frac{f_{i}}{m_{i}} ≺ r ≤ d, also haben wir mithilfe von 10.2(a), daß

\frac{2g − 2}{m} = d − 2 + \frac{q − 2}{q − 1} − ∑_{i=1}^{r} \frac{f_{i}}{m_{i}} ∼ d

und daher g ∼ md/2 ist. Insbesondere gilt f_{1} ≤ m ≺ g, so daß sich g ∼ (q − 1)g^{+} aus 10.2(b) und (c) ergibt. □

11 Klassenzahlen

Die Betrachtungen von Quebbemann [Qb] aufgreifend untersuchen wir in diesem Abschnitt das Verhalten der zyklotomischen Klassenzahlen für d = grad M → ∞. Für die erforderlichen Resultate über Einheitengruppe und Idealklassengruppe des Rings ganzer Funktionen in L bzw. L^{+} stützen wir uns soweit wie möglich auf [GR1] und [GR2]. Für die Divisorenklassenzahlen h_{0} := h_{0}(L) und h_{0}^{+} := h_{0}(L^{+}) gelten nach 6.15(b) die Abschätzungen

2g log_{q}(\sqrt{q} − 1) ≤ log_{q} h_{0} ≤ 2g log_{q}(\sqrt{q} + 1),
2g^{+} log_{q}(\sqrt{q} − 1) ≤ log_{q} h_{0}^{+} ≤ 2g^{+} log_{q}(\sqrt{q} + 1).

Diese lassen sich durch den folgenden, auch in allgemeineren Situationen gültigen Satz (vgl. [Qb, p. 84]) für d → ∞ noch verschärfen. Wir verwenden die im letzten Abschnitt eingeführten Relationen ∼ und ≺.

11.1 Satz. Es gilt (a) log_{q} h_{0} ∼ g und

(b) log_{q} h_{0}^{+} ∼ g^{+}.

Beweis. (a) Für j ∈ ℕ bezeichne k_{j} := 𝔽_{q^{j}} den Erweiterungskörper vom Grad j über k = 𝔽_{q} und K_{j}/k_{j} bzw. L_{j}/k_{j} die zugehörige Konstantenkörpererweiterung von K/k bzw. L/k. Für die Anzahl N_{j} der rationalen Punkte von L_{j}/k_{j} haben wir nach 4.3 und 1.21(c) die Abschätzung

N_{j} ≤ m(q^{j} + 1). (1)

Aus 6.10(a), 6.16 und der Definition der Weil-Zahlen ω_{1}, …, ω_{2g} von L ergibt sich für jedes j ∈ ℕ die Identität

− ∑_{i=1}^{2g} ω_{i}^{j} = N_{j} − (q^{j} + 1), (2)

woraus wir nach dem Satz von Weil analog zu 6.15(a) die weitere Abschätzung

|N_{j} − (q^{j} + 1)| ≤ 2gq^{j/2} (3)

ableiten können. Ordnen wir wie in 6.15(c) die Weil-Zahlen so an, daß ω_{i}ω_{g+i} = q ist für 1 ≤ i ≤ g, so können wir mithilfe von 6.10(b) schließen, daß

h_{0} = ∏_{i=1}^{2g}(1 − ω_{i})

= ∏_{i=1}^{g} ω_{i}ω_{g+i}(1 − ω_{i}^{−1})(1 − ω_{g+i}^{−1})

= q^{g} ∏_{i=1}^{g}(1 − q^{−1}ω_{g+i})(1 − q^{−1}ω_{i})

= q^{g} ∏_{i=1}^{2g}(1 − q^{−1}ω_{i})

ist. Mithilfe der Reihenentwicklung ln(1 − z) = − ∑_{j=1}^{∞} \frac{z^{j}}{j} für z ∈ ℂ, |z| < 1 und (2) erhalten wir hieraus

ln h_{0} − g ln q = ∑_{i=1}^{2g} ln(1 − q^{−1}ω_{i}) = − ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{jq^{j}} ∑_{i=1}^{2g} ω_{i}^{j} = ∑_{j=1}^{∞} \frac{1}{jq^{j}} (N_{j} − (q^{j} + 1)). (4)

Wählen wir nun s ∈ ℕ abhängig von M mit s ∼ g/m, so haben wir sowohl

|∑_{j=1}^{s} \frac{1}{jq^{j}} (N_{j} − (q^{j} + 1))| ≤ |∑_{j=1}^{s} \frac{N_{j}}{jq^{j}} | + |∑_{j=1}^{s} \frac{q^{j} + 1}{jq^{j}} | ≤ (m + 1) ∑_{j=1}^{s} (\frac{1}{j} + \frac{1}{jq^{j}} ) ≺ ms ∼ g

wegen (1) als auch

| ∑_{j=s+1}^{∞} \frac{1}{jq^{j}} (N_{j} − (q^{j} + 1))| ≤ 2g ∑_{j=s+1}^{∞} \frac{1}{jq^{j/2}} ≺ g

wegen (3) und 10.7. Daher folgt aus (4), daß ln h_{0} ∼ g ln q ist.

(b) Geht ganz analog.

□

Wir wollen nun auch die Asymptotik der Idealklassenzahlen h := h(B) und h^{+} := h(B^{+}) der ganzen Abschlüsse B bzw. B^{+} von R in L bzw. L^{+} untersuchen. Zunächst bestimmen wir das Verhältnis der Einheitengruppen dieser beiden Ringe. Vgl. hierzu [GR1, p. 366] und [GR2, p. 166].

11.2 Satz. Für die Einheitengruppen U := B^{∗} und U^{+} := (B^{+})^{∗} gilt:

(a) Bei r = 1 ist U = U^{+}.

(b) Bei r ≥ 2 ist (U : U^{+}) = q − 1.

Beweis. Die Anfänge der Beweise von (a) und (b) sind identisch. Sei z ∈ U.

Die Menge der Fortsetzungen der Gradbewertung v_{∞} von K nach L bezeichnen wir mit S und zu σ ∈ G_{0} := Aut(L/L^{+}) definieren wir ε_{σ} := σ(z)/z. Für jedes w ∈ S und σ ∈ G_{0} ist w^{σ} = w nach 9.4(b) und 2.1(b), also gilt

w(ε_{σ}) = 0 ∀σ ∈ G_{0}.

Da außerdem ε_{σ} ∈ U = ⋂_{w∉S} R_{w}^{∗} ist für alle σ ∈ G_{0}, ergibt sich nach 4.8(b) und 9.5, daß

ε_{σ} ∈ k^{∗} ∀σ ∈ G_{0}. (∗)

(a) Sei w^{+} eine Fortsetzung von v_{P_{1}} nach L^{+} und L′ := L^{+}(z). Aus (∗) folgt σ(z^{q−1}) = z^{q−1} für alle σ ∈ G_{0}, d. h. z^{q−1} ∈ U ∩ L^{+} = U^{+} ⊆ R_{w^{+}}^{∗}. Daher ist w^{+}(z^{q−1}) = 0, und mit 1.27 folgt, daß w^{+} unverzweigt in L′/L^{+} ist. Da nach 8.4 andererseits w^{+} total verzweigt in L/L^{+} ist, muß L′ = L^{+}, also z ∈ U ∩ L^{+} = U^{+} sein.

(b) Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗}. Nach (∗) und 8.8(c) können wir z = z^{+}λ^{i} mit z^{+} ∈ L^{+} und 0 ≤ i < q − 1 schreiben. Wegen 10.1(b) ist λ ∈ U, also z^{+} ∈ U ∩ L^{+} = U^{+} und z ∈ λ^{i}U^{+}. Damit haben wir

U/U^{+} = {λ^{i}U^{+} : 0 ≤ i < q − 1}

gezeigt. Wegen λ^{i} ∉ L^{+} für 1 ≤ i < q − 1 ist λ^{i}U^{+} ≠ λ^{j}U^{+} für 0 ≤ i < j < q − 1, also tatsächlich (U : U^{+}) = q − 1.

□

Der folgende wichtige Satz, der uns garantiert, daß wie in der klassischen Theorie h^{+} ein Teiler von h ist (vgl. [Wh, p. 40]), ist für den Fall r = 1 (mit etwas anderen Methoden) bei [GR1, p. 366f] bewiesen.

11.3 Satz. Der natürliche Klassengruppenhomomorphismus

Cℓ(B^{+}) → Cℓ(B)
[I^{+}] ↦ [BI^{+}]

ist injektiv.

Beweis. Sei I^{+} ein Ideal von B^{+}, so daß BI^{+} ein Hauptideal von B ist, etwa BI^{+} = Bz für ein z ∈ B. Zu zeigen ist, daß I^{+} Hauptideal von B^{+} ist. Für σ ∈ G_{0} := Aut(L/L^{+}) setzen wir wieder ε_{σ} := σ(z)/z. Nach 1.2(c) ist Bσ(z) = σ(Bz) = σ(BI^{+}) = BI^{+} = Bz für alle σ ∈ G_{0}, also

ε_{σ} ∈ B^{∗} ∀σ ∈ G_{0}.

Dem vorhergehenden Satz zufolge ist auf jeden Fall ε_{σ}^{q−1} ∈ (B^{+})^{∗} für alle σ ∈ G_{0}. Man sieht leicht, daß dann die Abbildung

G_{0} → (B^{+})^{∗}
σ ↦ ε_{σ}^{q−1}

ein Gruppenhomomorphismus ist. Daher liegt ε_{σ}^{q−1} als Nullstelle von u^{q−1}−1 für jedes σ ∈ G_{0} in k^{∗}. Da k in L algebraisch abgeschlossen ist, folgt schließlich

ε_{σ} ∈ k^{∗} ∀σ ∈ G_{0}. (∗)

Wir unterscheiden nun wieder die Fälle r = 1 und r ≥ 2.

(a) Sei r = 1 und w^{+} eine Fortsetzung von v_{P_{1}} nach L^{+}. Nach 1.23(a) ist w^{+} = v_{Q^{+}} für ein Q^{+} ∈ Max(B^{+}). Wir schreiben

I^{+} = (Q^{+})^{s}J^{+}

mit s ∈ ℕ_{0} und einem Ideal J^{+} von B^{+}, das von Q^{+} nicht geteilt wird. Aus (∗) folgt σ(z^{q−1}) = z^{q−1} für alle σ ∈ G_{0}, d. h. z^{q−1} ∈ B ∩ L^{+} = B^{+}. Also ist (I^{+})^{q−1} = B^{+}z^{q−1} Hauptideal von B^{+} und w^{+}(z^{q−1}) = (q−1)s. Wählen wir λ^{+} ∈ L^{+} mit w^{+}(λ^{+}) = 1 und setzen β := z/(λ^{+})^{s} und L′ := L^{+}(z) = L^{+}(β), so ist w^{+}(β^{q−1}) = w^{+}(z^{q−1}) − w^{+}((λ^{+})^{(q−1)s}) = 0, also w^{+} nach 1.27 unverzweigt in L′/L^{+}. Da w^{+} nach 8.4 andererseits total verzweigt in L/L^{+} ist, folgt L′ = L^{+} und z ∈ B ∩ L^{+} = B^{+}, also ist I^{+} = B^{+}z Hauptideal von B^{+}.

(b) Sei r ≥ 2 und λ ∈ Λ_{M}^{∗}. Wegen (∗) und 8.8(c) können wir wieder

z = z^{+}λ^{i}

mit z^{+} ∈ L^{+} und 0 ≤ i < q − 1 schreiben. Nach 10.1(b) ist z^{+} ∈ B ∩ L^{+} = B^{+} und BI^{+} = Bz^{+}, also I^{+} = B^{+}z^{+} Hauptideal von B^{+}.

□

Die Idealklassengruppen bezeichnen wir nun zur Abkürzung durch Cℓ := Cℓ(B) und Cℓ^{+} := Cℓ(B^{+}). Desweiteren setzen wir W := V (L/k) bzw. W^{+} := V (L^{+}/k) für die abstrakte Kurve von L/k bzw. L^{+}/k, S := {w ∈ W : w/v_{∞}} bzw. S^{+} := {w^{+} ∈ W^{+} : w^{+}/v_{∞}} für die Menge der Fortsetzungen der Gradbewertung v_{∞} von K nach L bzw. L^{+}, D := D_{L}, D^{+} := D_{L^{+}}, D_{0} := D_{L,0} und D_{0}^{+} := D_{L^{+},0} für die Divisorengruppen und Cℓ_{0} := Cℓ_{0}(L) bzw. Cℓ_{0}^{+} := Cℓ_{0}(L^{+}) für die Divisorenklassengruppen von L bzw. L^{+}. Die kanonische Einbettung

D^{+} → D
∑_{w^{+}∈W^{+}} d_{w^{+}}𝔭_{w^{+}} ↦ ∑_{w^{+}∈W^{+}} d_{w^{+}} ∑_{w/w^{+}} e_{w/w^{+}}𝔭_{w}

fassen wir der Einfachheit halber als Inklusion auf. Wir wollen die Divisorenklassengruppen mit den Idealklassengruppen in Zusammenhang bringen und definieren hierfür die Gruppen

E := ⨁_{w∈S} ℤ𝔭_{w} ⊆ D,

E^{+} := ⨁_{w^{+}∈S^{+}} ℤ𝔭_{w^{+}} ⊆ D^{+}

der Divisoren von L bzw. L^{+} mit Träger in S bzw. S^{+}. Man überlegt sich leicht, daß die Abbildung

Cℓ → D/(E + (L^{∗}))
[∏_{Q∈Max(B)} Q^{d_{Q}}] ↦ ∑_{Q∈Max(B)} d_{Q}𝔭_{v_{Q}} + (E + (L^{∗}))

ein Gruppenisomorphismus ist. In gleicher Weise ist auch Cℓ^{+} ≃ D^{+}/(E^{+} + ((L^{+})^{∗})). Dabei kommutiert der Klassengruppenhomomorphismus aus dem vorigen Satz mit der kanonischen Einbettung

D^{+}/(E^{+} + ((L^{+})^{∗})) ↪ D/(E + (L^{∗})),

die sich aus der Inklusion D^{+} ⊆ D von oben ergibt. Wir definieren noch E_{0} := E ∩ D_{0} und E_{0}^{+} := E^{+} ∩ D_{0}^{+} und betrachten die Sequenzen der kanonischen Gruppenhomomorphismen

\begin{aligned}0 & → & E_{0}/(E_{0} ∩ (L^{∗})) & → & Cℓ_{0} & → & D/(E + (L^{∗})) & → & 0, \\ 0 & → & E_{0}^{+}/(E_{0}^{+} ∩ ((L^{+})^{∗})) & → & Cℓ_{0}^{+} & → & D^{+}/(E^{+} + ((L^{+})^{∗})) & → & 0. \end{aligned}

Sie sind offenbar exakt (Die Surjektivität der hinteren Abbildungen gilt, da S und S^{+} rationale Punkte enthalten). Daher ist h_{0} = ρh und h_{0}^{+} = ρ^{+}h^{+}, wobei ρ := (E_{0} : E_{0} ∩ (L^{∗})) bzw. ρ^{+} := (E_{0}^{+} : E_{0}^{+} ∩ ((L^{+})^{∗})) der Regulator von L bzw. L^{+} genannt wird. Der nächste Satz behandelt in Verallgemeinerung von [Qb, Theorem 3.3] für d → ∞ das asymptotische Verhalten des Quotienten

h^{−} := \frac{h}{h^{+}} ,

der nach dem vorigen Satz eine natürliche Zahl ist. Für q = 2 ist L^{+} = L, also h^{−} = 1.

11.4 Satz. Für q ≠ 2 haben wir

log_{q} h^{−} ∼ \frac{q − 2}{q − 1} \frac{md}{2}.

Beweis. Sei N := #S = #S^{+} = m/(q−1). Offenbar sind E_{0} und E_{0}^{+} freie abelsche Gruppen, beide vom Rang N − 1, und da nach 9.4(b) mit der Inklusion von oben E_{0}^{+} = (q − 1)E_{0} ist, folgt

(E_{0} : E_{0}^{+}) = (q − 1)^{N−1}.

Desweiteren ist offenbar E_{0} ∩ (L^{∗}) = (B^{∗}) ≃ B^{∗}/k^{∗}, ebenso E_{0}^{+} ∩ ((L^{+})^{∗}) = ((B^{+})^{∗}) ≃ (B^{+})^{∗}/k^{∗} und daher

(E_{0} ∩ (L^{∗}) : E_{0}^{+} ∩ ((L^{+})^{∗})) = (B^{∗} : (B^{+})^{∗}) = s := \{ \begin{matrix}1 & für r = 1 \\ q − 1 & für r ≥ 2 \end{matrix}

nach 11.2. Insgesamt ergibt sich ρ/ρ^{+} = (q − 1)^{N−1}/s, also log_{q}(ρ^{+}/ρ) ∼ −\frac{ln(q−1)}{(q−1) ln q} m ≺ g. Zusammen mit 11.1 und 10.7 erhalten wir

log_{q} h^{−} = log_{q} \frac{ρ^{+}}{ρ} + log_{q} h_{0} − log_{q} h_{0}^{+} ∼ (1 − \frac{1}{q − 1})g ∼ \frac{q − 2}{q − 1} \frac{md}{2}.

□

Aus diesem Satz ergibt sich insbesondere, daß h → ∞ für d → ∞ und q ≠ 2. Im Fall q = 2 können wir keine Aussage machen. Es stellt sich die Frage, ob es hier überhaupt Beispiele mit h ≠ 1 gibt (Ich kann keines angeben). Zur nun folgenden Berechnung von Klassenzahlen für konkrete Polynome M führen wir einige Notationen ein. Wir bezeichnen mit W_{n} bzw. W_{n}^{+} die Menge der Bewertungen von L bzw. L^{+} vom Grad n und definieren für N ∈ ℕ, n ∈ ℕ_{0} das Symbol

\left[{N \atop n}\right] := #\{(a_{1}, …, a_{N}) ∈ ℕ_{0}^{N} : a_{1} + ⋯ + a_{N} = n\}.

Mithilfe vollständiger Induktion überlegt man sich leicht, daß \left[{N \atop n}\right] = \binom{N−1+n}{n} ist. Deswei-

teren seien wie in Abschnitt 6 eingeführt A_{0}, A_{1}, … bzw. A_{0}^{+}, A_{1}^{+}, … die Koeffizienten und P (t) bzw. P^{+}(t) das Zählerpolynom der Zetafunktion von L bzw. L^{+}. Für Divisorenklassenzahlen haben Galovich und Rosen in [GR1] und [GR2] Formeln unter Verwendung von L-Reihen angegeben, nach denen Ireland und Small [IS] mithilfe eines Computerprogramms Klassenzahlen ausgerechnet haben. Aber auch aus unseren Sätzen können wir ein konkretes Verfahren zur Berechnung von h_{0} und h_{0}^{+} ableiten: Zunächst bestimme man mithilfe von 9.1 bzw. 10.4 sämtliche Bewertungen mit Grad ≤ g bzw. ≤ g^{+} von L bzw. L^{+}. Für die Fortsetzungen der Bewertungen v_{P} mit P |/ M ergeben sie sich dabei aus der Zerlegung aller Polynome AM +1 für A ∈ R normiert mit grad A ≤ g−d bzw. aller Polynome AM + α für α ∈ k^{∗} und A ∈ R normiert mit grad A ≤ g^{+} − d. Aus #W_{1}, …, #W_{g} bzw. #W_{1}^{+}, …, #W_{g^{+}}^{+} lassen sich dann mithilfe kombinatorischer Überlegungen A_{0}, …, A_{g} bzw. A_{0}^{+}, …, A_{g^{+}}^{+} und mit 6.10 und 6.12 schließlich P (t) und h_{0} bzw. P^{+}(t) und h_{0}^{+} gewinnen. Die Bestimmung der Idealklassenzahlen bereitet i. a. mehr Schwierigkeiten. Wir wollen hier lediglich zwei Lemmata angeben, die man ausnutzen kann, um zu zeigen, daß die Idealklassenzahl ‘klein’ ist.

11.5 Lemma. Jede Klasse 𝔄 ∈ D/(E + (L^{∗})) enthält einen Divisor 𝔞 ≥ 𝔬 vom Grad g. Für L^{+} gilt das hierzu Analoge.

Beweis. Sei 𝔄 ∈ D/(E + (L^{∗})). Da S rationale Punkte enthält, können wir einen Divisor 𝔡 ∈ 𝔄 mit grad 𝔡 = g wählen. Nach 4.19(b) ist dim 𝔡 ≥ 1, also existiert ein y ∈ L^{∗} mit 𝔞 := 𝔡 + (y) ≥ 𝔬. □

11.6 Lemma. Sei r = 1 und w bzw. w^{+} die Fortsetzung von v_{P_{1}} nach L bzw. L^{+}. Dann ist

(a) 𝔭_{w} ∈ E + (L^{∗}) und

(b) 𝔭_{w^{+}} ∈ E^{+} + ((L^{+})^{∗}).

Beweis. Sei λ ∈ Λ_{M}^{∗}. Nach dem Beweis von 8.4 ist w(λ) = w^{+}(λ^{q−1}) = 1 und w̃(λ) = w̃^{+}(λ^{q−1}) = 0 für alle w̃ ∈ W \ (S ∪ {w}) und w̃^{+} ∈ W^{+} \ (S^{+} ∪ {w^{+}}). □

Beispiele. Wir wollen die Klassenzahlen für q = 2, d = 3 bestimmen. Für die in 10.5(c) behandelten Fälle ist g = 0, also h_{0} = h = 1. Es bleibt

(a) M = (x + α)^{3}, α ∈ 𝔽_{2}, und

(b) M irreduzibel

zu untersuchen.

(a) Es ist m = 4 und g = 1. Wegen 9.2 ist W_{1} = S ∪ {w}, wo w die Fortsetzung von v_{x+α} nach L ist, so daß sich aus 11.5, 11.6 und 6.3(b) sofort h = 1 und h_{0} = A_{1} = #W_{1} = 5 ergibt.

(b) Hier ist m = 7 und g = 3. Es sind also die Bewertungen von L bis zum Grad 3 zu bestimmen. Sei w die Fortsetzung von v_{M} nach L. Nach 9.2 ist W_{1} = S, W_{2} = ∅ und W_{3} = {w}, also erhalten wir

A_{1} = 7, A_{2} = \left[{7 \atop 2}\right] = 28, A_{3} = \left[{7 \atop 3}\right] + 1 = 85,

woraus sich nach 6.10 und 6.12

P (t) = 1 + 4t + 9t^{2} + 15t^{3} + 18t^{4} + 16t^{5} + 8t^{6},
h_{0} = 71

ergibt. Wiederum enthält wegen 11.5 und 11.6 jede Klasse 𝔄 ∈ D/(E + (L^{∗})) einen Divisor 𝔞 ∈ E + ℤ𝔭_{w} ⊆ E + (L^{∗}), also ist h = 1.

Beispiele. In den Fällen aus 10.5(a) und (b) ist g^{+} = 0, also h_{0}^{+} = ρ^{+}h^{+} = 1. Wir kennen daher den Regulator ρ aus dem Beweis von 11.4.

(a) Sei q = 4 und M = (x + α)(x + β) mit α, β ∈ k, α ≠ β, dann ist m = 9, g = 1 und ρ = 3.

• Ist α + β = 1, so ist x + α ≡ 1 (mod x + β) und umgekehrt. Nach 9.1 haben daher v_{x+α}

und v_{x+β} je 3 Fortsetzungen vom Grad 1 nach L und es ergibt sich

h_{0} = #W_{1} = #S + 6 = 9, h = h_{0}/ρ = 3.

• Ist α + β ≠ 1, so ist W_{1} = S, also h_{0} = 3 und h = 1.

(b) Für Polynome der Form M = (x + α)^{2} mit α ∈ k ist m = q(q − 1), g = (q − 1)(q − 2)/2 und ρ = (q − 1)^{q−1}. Wir können o. B. d. A. α = 0 annehmen und wollen die Fälle q = 3 und q = 4 untersuchen.

• Ist q = 3, also g = 1, so haben wir h = 1 nach 9.2, 11.5 und 11.6, also h_{0} = ρh = 4.

• Sei q = 4, also m = 12, g = 3 und ρ = 27. Wieder haben wir W_{1} = S ∪ {w}, wo w die Fortsetzung von v_{x} nach L ist. Desweiteren ist M + 1 = (x + 1)^{2}, d. h. W_{2} besteht aus den m/2 = 6 Fortsetzungen von v_{x+1}. Da β^{3} = 1 ist für alle β ∈ k^{∗}, ist (x + γ)M + 1 = x^{3} + γx + 1 irreduzibel für alle γ ∈ k^{∗} und #W_{3} = 3m = 36. Es ergibt sich

A_{1} = #W_{1} = 5, A_{2} = \left[{5 \atop 2}\right] + 6 = 21, A_{3} = \left[{5 \atop 3}\right] + 6A_{1} + 36 = 101,

also

P (t) = 1 + 16t^{3} + 64t^{6},

h_{0} = P (1) = 81 und h = h_{0}/ρ = 3.

(c) Sei q = 3 und M irreduzibel vom Grad 2. Es ist g = 2 und ρ = 8. Man rechnet schnell nach, daß M + 1 = (x + α)(x + β) mit α, β ∈ k, α ≠ β ist. Nach 9.2, 11.5 und 11.6 ist daher h = 1 und h_{0} = ρh = 8.

(d) Sei r = d = 3 = q, also M = x(x + 1)(x + 2). Wir haben m = 8, g = 1 und W_{1} = S nach 9.2, also h_{0} = #S = 4 und h = 1.

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